급수 수렴 보기

[출제의도] 무한급수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( a _{n} - 1 )$이 수렴하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {( a _{n} - 1 )} = 0$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = 1$ (참) ㄴ. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( b _{n} + 1 )$이 수렴하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {( b _{n} + 1 )} = 0$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = - 1$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}$은 발산한다. (참) ㄷ. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( a _{n} - 1 ) , \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( b _{n} + 1 )$이 모두 수렴하므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( a _{n} - 1 ) + \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( b _{n} + 1 )$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ ( a _{n} - 1 ) + ( b _{n} + 1 ) \right.$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( a _{n} + b _{n} )$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( a _{n} + b _{n} )$은 수렴한다. (참)