급수 성질 보기

[출제의도] 무한급수의 성질을 이해할 수 있다. ㄱ. $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n} = \alpha$, $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( a _{n} + b _{n} ) = \beta$라 하면 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} b _{n} = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left\{ ( a _{n} + b _{n} ) - a _{n} ) \right\}$ $\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( a _{n} + b _{n} ) - \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n}$ $= \beta - \alpha$ (수렴) ∴ 참 ㄴ. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}$이 수렴하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = 0$, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}$이 수렴하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b _{n} = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} b _{n} = 0$ ∴ 참 ㄷ. 반례: 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 $1 , 0 , 1 , 0 , 1 , \cdots$ 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$이 $0 , 1 , 0 , 1 , 0 , \cdots$ 이면 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} b _{n} = 0$(수렴)이지만 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} \ne 0$, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b _{n} \ne 0$이다. ∴ 거짓