미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수 망원

문제

첫째항과 공차가 모두 22인 등차수열 {an}\{ a _{n} \}에 대하여 수열{bn}\{ b _{n} \}을 다음과 같이 정의한다. bn=a2+a4+a6+⋯+a2na1+a3+a5+⋯+a2n−1\displaystyle b _{n} = \frac{a _{2} + a _{4} + a _{6} + \cdots + a _{2 n}}{a _{1} + a _{3} + a _{5} + \cdots + a _{2 n - 1}} 이때, ∑n=1∞(bn+1−bn)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( b _{n + 1} - b _{n} \right)의 값은? [4점] ①−2- 2②−1- 1③00④11⑤22

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②

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해설

[출제의도] 무한급수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 an=2na _{n} = 2 n이므로 a2n=4na _{2 n} = 4 n, a2n−1=4n−2a _{2 n - 1} = 4 n - 2 bn=∑k=1na2k∑k=1na2k−1=∑k=1n4k∑k=1n(4k−2)=1+1n\displaystyle b _{n} = \frac{\sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{2 k}}{\sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{2 k - 1}} = \frac{\sum\limits _{k = 1} ^{n} 4 k}{\sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( 4 k - 2 \right)} = 1 + \frac{1}{n} bn+1−bnb _{n + 1} - b _{n}=1n+1−1n\displaystyle = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n} ∑n=1∞(bn+1−bn)=∑n=1∞(1n+1−1n)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( b _{n + 1} - b _{n} \right) = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n} \right) =lim⁡n→∞{(12−1)+(13−12)+⋯+(1n+1−1n)}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \left( \frac{1}{2} - 1 \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n} \right) \right\}} =−lim⁡n→∞{(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)}\displaystyle = - \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) \right\}} =−lim⁡n→∞(1−1n+1)=−1\displaystyle = - \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)} = - 1

태그

#급수#망원급수

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