미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

근의 차 극한

문제

[13~14] 함수 f(x)f ( x )가 f(x)=(x−3)2f ( x ) = ( x - 3 ) ^{2} 일 때, 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

자연수 nn에 대하여 방정식 f(x)=nf ( x ) = n의 두 근이 α,β\alpha , \beta일 때 h(n)=∣α−β∣h ( n ) = \left| \alpha - \beta \right|라 하자. lim⁡n→∞n{h(n+1)−h(n)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{n} \left\{ h \left( n + 1 \right) - h \left( n \right) \right\}} 의 값은? [4점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②11③32\displaystyle \frac{3}{2}④22⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

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②

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해설

f(x)=n↔(x−3)2=n↔x2−6x+9−n=0f ( x ) = n \leftrightarrow ( x - 3 ) ^{2} = n \leftrightarrow x ^{2} - 6 x + 9 - n = 0 의 두 근이 α\alpha, β\beta이므로 근과 계수와의 관계에 의해 다음이 성립한다. α+β=6,αβ=9−n\alpha + \beta = 6 , \alpha \beta = 9 - n 그런데 (α−β)2=(α+β)2−4αβ( \alpha - \beta ) ^{2} = ( \alpha + \beta ) ^{2} - 4 \alpha \beta이므로 ∣α−β∣=4n\displaystyle \left| \alpha - \beta \right| = \sqrt{4 n} lim⁡n→∞n{h(n+1)−h(n)}=lim⁡n→∞n{2n+1−2n}=lim⁡n→∞2nn+1+n=1\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{n} \left\{ h \left( n + 1 \right) - h \left( n \right) \right\} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{n}}} \left\{ 2 \sqrt{n + 1} - 2 \sqrt{n} \right\} \\ = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}} \\ \\ = 1 \end{aligned}

태그

#수열의 극한#근과 계수의 관계

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