근호가 자연수인 n

[출제의도] 제곱근의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 자연수 $k$에 대하여 $\displaystyle \sqrt{78 - 3 n} = k$라 하면 $78 - 3 n = k ^{2}$이므로 $\displaystyle n = \frac{78 - k ^{2}}{3}$이다. 이 때, $n$은 자연수이므로 $78 - k ^{2}$은 $3$의 배수이다. 그런데 $78$은 $3$의 배수이므로 $k ^{2}$도 $3$의 배수이다. 따라서 $k$는 $3$의 배수이다. 또, $78 - k ^{2} > 0$이므로 $k = 3$ 또는 $k = 6$이다. 그러므로 구하는 자연수 $n$의 값은 $k = 3$일 때, $\displaystyle n = \frac{78 - 3 ^{2}}{3} = 23$ $k = 6$일 때, $\displaystyle n = \frac{78 - 6 ^{2}}{3} = 14$ 따라서 (가), (나), (다)에 들어갈 수의 합은 $3 + 3 + 23 = 29$이다. [참고] [ $\mathbf{k}$가 자연수일 때 $\mathbf{k} ^{\mathbf{2}}$이 $\mathbf{3}$의 배수이면 $\mathbf{k}$가 $\mathbf{3}$의 배수인 이유 ] 모든 자연수는 $3 m , 3 m - 1 , 3 m - 2 ( m = 1 , 2 , 3 , \cdots )$로 놓을 수 있다. 이 때 $( 3 m ) ^{2} = 9 m ^{2} = 3 ( 3 m ^{2} )$ $( 3 m - 1 ) ^{2} = 9 m ^{2} - 6 m + 1 = 3 ( 3 m ^{2} - 2 m ) + 1$ $( 3 m - 2 ) ^{2} = 9 m ^{2} - 12 m + 4 = 3 ( 3 m ^{2} - 4 m + 1 ) + 1$이다. 이 중에서 제곱하여 $3$의 배수가 되는 것은 $3$의 배수인 $3 m$뿐이다.