근호 부등식 보기

[출제의도] 부등식의 성질을 이용하여 주어진 부등식이 절대부등식인지의 여부를 판단할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. $\displaystyle \sqrt{a} \leq \sqrt{a + b} \leq \sqrt{a + b} + \sqrt{b}$이므로 $\displaystyle \sqrt{a} - \sqrt{b} \leq \sqrt{a + b}$(단, 등호는 $b = 0$일 때 성립한다.) ∴참 ㄴ. $\displaystyle \sqrt{a + b} \geq 0$, $\displaystyle \sqrt{a} + \sqrt{b} \geq 0$이므로 $\displaystyle ( \sqrt{a} + \sqrt{b} ) ^{2} - ( \sqrt{a + b} ) ^{2}$ $\displaystyle = ( a + 2 \sqrt{ab} + b ) - ( a + b )$ $\displaystyle = 2 \sqrt{ab} \geq 0$ ∴$\displaystyle \sqrt{a} + \sqrt{b} \geq \sqrt{a + b}$ (단, 등호는 $a = 0$ 또는 $b = 0$일 때 성립한다.) ∴참 ㄷ. $\displaystyle \sqrt{a} + \sqrt{b} \geq 0$, $\displaystyle \sqrt{2 ( a + b )} \geq 0$이므로 $\displaystyle ( \sqrt{2 ( a + b )} ) ^{2} - ( \sqrt{a} + \sqrt{b} ) ^{2}$ $\displaystyle = 2 ( a + b ) - ( a + b + 2 \sqrt{a b} )$ $\displaystyle = a - 2 \sqrt{ab} + b = ( \sqrt{a} - \sqrt{b} ) ^{2} \geq 0$ ∴ $\displaystyle \sqrt{2 ( a + b )} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b}$(단, 등호는 $a = b$일 때 성립한다.) ∴참