대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

근과 지수식

문제

xx에 대한 이차방정식 x2−4x+1=0x ^{2} - 4 x + 1 = 0의 두 근을 α,β\alpha , \beta라 할 때, (2α×2β)1α+1β=2k\displaystyle \left( 2 ^{\alpha} \times 2 ^{\beta} \right) ^{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}} = 2 ^{k}이다. 실수 kk의 값을 구하시오. [3점]

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16

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해설

[출제의도] 근과 계수와의 관계를 이용하여 지수값 계산하기 x2−4x+1=0x ^{2} - 4 x + 1 = 0의 두 근을 α,β\alpha , \beta라 하면 α+β=4,αβ=1\alpha + \beta = 4 , \alpha \beta = 1이므로 (2α×2β)1α+1β=2(α+β)2αβ=216\displaystyle \left( 2 ^{\alpha} \times 2 ^{\beta} \right) ^{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}} = 2 ^{\frac{( \alpha + \beta ) ^{2}}{\alpha \beta}} = 2 ^{16} ∴ k=16k = 16

태그

#지수법칙#근과 계수

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