공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

근과 계수와 행렬

문제

이차방정식 x2+2x−1=0x ^{2} + 2 x - 1 = 0의 두 근을 α\alpha,β\beta라 할 때, 행렬 M=(α1−1β)\displaystyle M = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ - 1 & \beta \end{pmatrix}에 대하여 행렬 M2M ^{2}의 모든 성분의 합은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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④

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용하여 행렬의 성분의 합을 구할 수 있다. α+β=−2,αβ=−1\alpha + \beta = - 2 , \alpha \beta = - 1이고 M2=(α1−1β)(α1−1β)=(colα2−1−α−βcolα+ββ2−1)\displaystyle M ^{2} = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ - 1 & \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ - 1 & \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} col {\alpha ^{2} - 1 \\ - \alpha - \beta} col {\alpha + \beta \\ \beta ^{2} - 1} \end{pmatrix} 따라서, M2M ^{2}의 모든 성분의 합은 α2+β2−2=4\alpha ^{2} + \beta ^{2} - 2 = 4

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#근과 계수#행렬

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