공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

근과 계수 역행렬 곱

문제

이차방정식 x2+3x+1=0x ^{2} + 3 x + 1 = 0의 두 근을 α,β\alpha , \beta라 하자. 두 행렬 A=(α10−α)\displaystyle A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ 0 & - \alpha \end{pmatrix}, B=(β−10−β)\displaystyle B = \begin{pmatrix} \beta & - 1 \\ 0 & - \beta \end{pmatrix}에 대하여 B−1A−1B ^{-1} A ^{-1}은? [3점] ①(1301)\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}②(1−301)\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & - 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}③(−1−301)\displaystyle \begin{pmatrix} - 1 & - 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}④(1−30−1)\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & - 3 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}⑤(−130−1)\displaystyle \begin{pmatrix} - 1 & 3 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}

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②

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해설

[출제 의도] 근과 계수의 관계를 이용하여 두 행렬 A,BA , B의 역행렬의 곱을 구할 수 있다. 근과 계수의 관계에서 α+β=−3,αβ=1\alpha + \beta = - 3 , \alpha \beta = 1 AB=(α10−α)\displaystyle AB = \begin{pmatrix} {\alpha} & {1} \\ {0} & {- \alpha} \end{pmatrix}(β−10−β)\displaystyle \begin{pmatrix} {\beta} & {- 1} \\ {0} & {- \beta} \end{pmatrix}=(αβ−(α+β)0αβ)\displaystyle = \begin{pmatrix} {\alpha \beta} & {- ( \alpha + \beta )} \\ {0} & {\alpha \beta} \end{pmatrix}=(1301)\displaystyle = \begin{pmatrix} {1} & {3} \\ {0} & {1} \end{pmatrix} ∴ B−1A−1=(AB)−1B ^{-1} A ^{-1} = ( AB ) ^{-1}=(1−301)\displaystyle = \begin{pmatrix} {1} & {- 3} \\ {0} & {1} \end{pmatrix}

태그

#역행렬#근과 계수

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