공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

근과 계수 행렬 거듭제곱

문제

이차방정식 x2−5x−1=0x ^{2} - 5 x - 1 = 0 의 두 근을 α\alpha, β\beta 라 할 때, 행렬 A=(2αβ−2)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & \alpha \\ \beta & - 2 \end{pmatrix}에 대하여 A5A ^{5}과 같은 행렬은? [3점]

①6A6 A②9A9 A③25A25 A④27A27 A⑤81A81 A

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②

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해설

근과 계수와의 관계에서 α+β=5\alpha + \beta = 5, αβ=−1\alpha \beta = - 1 A2=(4+αβ004+αβ)=(3003)=3E\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} 4 + \alpha \beta & 0 \\ 0 & 4 + \alpha \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 3 E 이므로 A4=9EA ^{4} = 9 E, A5=9AA ^{5} = 9 A이다.

태그

#행렬 거듭제곱#근과 계수

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