미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

근을 이용한 등비급수

문제

이차함수 y=2x2+x−4y = 2 x ^{2} + x - 4의 그래프가 xx축과 만나는 두 점의 xx좌표를 각각 α\alpha, β\beta라 할 때, 무한급수 ∑n=1∞(1α+1β)n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \right) ^{n}의 합은? [3점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②12\displaystyle \frac{1}{2}③23\displaystyle \frac{2}{3}④34\displaystyle \frac{3}{4}⑤11

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①

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. α\alpha, β\beta가 이차방정식 2x2+x−4=02 x ^{2} + x - 4 = 0의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의해 α+β=−12\displaystyle \alpha + \beta = - \frac{1}{2}, αβ=−2\alpha \beta = - 2 한편, 1α+1β=α+βαβ\displaystyle \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}=14\displaystyle = \frac{1}{4} ∑n=1∞(1α+1β)n=∑n=1∞(14)n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \right) ^{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{4} \right) ^{n}=141−14\displaystyle = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}}=13\displaystyle = \frac{1}{3}

태그

#등비급수#근과 계수

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