근을 대입한 식의 값

[출제의도] 복소수 계산하기 방정식 $2 x ^{2} - 2 x + 1 = 0$의 근은 $\displaystyle x = \frac{1 \pm i}{2}$이다. 이때, $\displaystyle \alpha = \frac{1 + i}{2}$라 하면 $\displaystyle \alpha ^{2} = \frac{1}{2} i$이다. $\displaystyle \alpha ^{4} = \left( \frac{1}{2} i \right) ^{2} = \mathit{-} \frac{1}{4}$ $\displaystyle \alpha ^{4} - \alpha ^{2} + \alpha = \mathit{-} \frac{1}{4} - \frac{1}{2} i + \frac{1 + i}{2} = \frac{1}{4}$ $\displaystyle \alpha = \frac{1 - i}{2}$인 경우도 마찬가지로 성립한다. 따라서 $\displaystyle \alpha ^{4} - \alpha ^{2} + \alpha = \frac{1}{4}$이다. [다른 풀이] $\displaystyle \alpha ^{2} = \alpha - \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \alpha ^{4} = \left( \alpha - \frac{1}{2} \right) ^{2} = \alpha ^{2} - \alpha + \frac{1}{4}$ $\displaystyle \alpha ^{4} - \alpha ^{2} + \alpha = \frac{1}{4}$이다.