극솟값 위치

[출제의도] 미분법을 이용하여 극솟값을 가질 조건을 찾는다. $\displaystyle f ( x ) = \frac{\sin x}{e ^{2x}}$$= e ^{-2x} \sin x$이므로 $f' ( x ) = - 2 e ^{-2x} \sin x + e ^{-2x} \cos x$ $= e ^{-2x} ( - 2 \sin x + \cos x )$ 이고 $f'' ( x ) = - 2 e ^{-2x} ( - 2 \sin x + \cos x )$$+ e ^{-2x} ( - 2 \cos x - \sin x )$ $= e ^{-2x} ( 3 \sin x - 4 \cos x )$ 이다. 이때 함수 $f ( x )$는 $x = a$에서 극솟값을 가지므로 $f' ( a ) = 0 , f'' ( a ) > 0$ 이어야 한다. 이때 $e ^{- 2 a} > 0$이므로 $- 2 \sin a + \cos a = 0$ … ㉠ $3 \sin a - 4 \cos a > 0$ … ㉡ 이 성립해야 한다. ㉠에서 $\cos a = 2 \sin a$이므로 $\displaystyle \tan a = \frac{1}{2}$ ㉠을 ㉡에 대입하면 $- 5 \sin a > 0$ 따라서 $\tan a > 0$이고, $\sin a < 0$이므로 $\displaystyle \pi < a < \frac{3}{2} \pi$ $\displaystyle \sec ^{2} a = 1 + \tan ^{2} a = 1 + \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} = \frac{5}{4}$ $\displaystyle \cos a = \frac{1}{\sec a} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$ ∴ $\displaystyle \cos a = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ (∵ $\displaystyle \pi < a < \frac{3}{2} \pi$) [다른 풀이] 미분가능한 함수 $f ( x )$가 $x = a$에서 극값을 가지므로 $f' ( a ) = 0$이어야 한다. $\displaystyle f ( x ) = \frac{\sin x}{e ^{2x}}$$= e ^{-2x} \sin x$이므로 $f' ( x ) = - 2 e ^{- 2 x} \sin x + e ^{- 2 x} \cos x$ $= - e ^{- 2 x} ( 2 \sin x - \cos x )$ 이때 $- e ^{-2a} ( 2 \sin a - \cos a ) = 0$에서 $\displaystyle \tan a = \frac{1}{2}$ ⅰ) $\displaystyle 0 < a < \frac{\pi}{2}$일 때 $0 < x < a$이면 $\sin x < \sin a$이고 $\cos x > \cos a$이므로 $2 \sin x - \cos x < 2 \sin a - \cos a = 0$ ∴ $f' ( x ) > 0$ $\displaystyle a < x < \frac{\pi}{2}$이면 $\sin x > \sin a$이고 $\cos x < \cos a$이므로 $2 \sin x - \cos x > 2 \sin a - \cos a = 0$ ∴ $f' ( x ) < 0$ 따라서 함수 $f ( x )$는 $x = a$에서 극댓값을 갖는다. ⅱ) $\displaystyle \pi < a < \frac{3}{2} \pi$일 때 $\pi < x < a$이면 $\sin x > \sin a$이고 $\cos x < \cos a$이므로 $2 \sin x - \cos x > 2 \sin a - \cos a = 0$ ∴ $f' ( x ) < 0$ $\displaystyle a < x < \frac{3 \pi}{2}$이면 $\sin x < \sin a$이고 $\cos x > \cos a$이므로 $2 \sin x - \cos x < 2 \sin a - \cos a = 0$ ∴ $f' ( x ) > 0$ 따라서 $x = a$에서 극솟값을 갖는다. $\displaystyle \sec ^{2} a = 1 + \tan ^{2} a = \frac{5}{4}$에서 $\displaystyle \sec a = - \frac{\sqrt{5}}{2}$ (∵ $\displaystyle \pi < a < \frac{3}{2} \pi$) ∴ $\displaystyle \cos a = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ [다른 풀이] $\displaystyle f ( x ) = \frac{\sin x}{e ^{2x}}$는 미분가능한 함수이므로 몫의 미분법을 사용하면 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{e ^{2x} \cos x - 2 e ^{2x} \sin x}{( e ^{2x} ) ^{2}}$ $\displaystyle = - \frac{2 \sin x - \cos x}{e ^{2x}}$ 이때 삼각함수의 합성에 의해서 $\displaystyle 2 \sin x - \cos x = \sqrt{5} \mathrm{\sin} \mathit{(} x - \alpha )$ 이므로 (단, $\displaystyle \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\displaystyle \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$) $f' ( x ) =$$\displaystyle - \frac{\sqrt{5} \mathrm{\sin} \mathit{(} x - \alpha )}{e ^{2x}}$ 이때 $f' ( x ) = 0$에서 $\sin ( x - \alpha ) = 0$이므로 $x - \alpha = 0$ 또는 $x - \alpha = \pi$ ∴ $x = \alpha$ 또는 $x = \pi + \alpha$ 이때 증가와 감소를 나타내는 표는 다음과 같다.

그러므로 함수 $f ( x )$는 $x = \pi + \alpha$에서 극솟값을 갖는다. ∴ $a = \pi + \alpha$ ∴ $\cos a$$= \cos ( \pi + \alpha )$ $= - \cos \alpha$ $\displaystyle = - \frac{2}{\sqrt{5}}$ $\displaystyle = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$