극장 일등석 영역 넓이

일등석은 그림과 같이 현 $AB$에 대한 중심각이 $60 ^{\circ}$인 원 $C _{1}$과 $30 ^{\circ}$인 원 $C _{2}$ 사이의 부분이다. 원 $C _{1}$의 반지름의 길이는 $6$이고, 원 $C _{2}$의 반지름의 길이를 $r$라 하면 $\displaystyle r ^{2} = 3 ^{2} + ( 3 \sqrt{3} + 6 ) ^{2} = 36 ( 2 + \sqrt{3} )$ 원 $C _{1}$의 활꼴의 넓이 $S _{1}$은 $\displaystyle S _{1} = \frac{5}{6} \cdot 6 ^{2} \pi + \frac{1}{2} \cdot 6 ^{2} \cdot \sin 60 ^{\circ}$$\displaystyle = 30 \pi + 9 \sqrt{3}$ 원 $C _{2}$의 활꼴의 넓이 $S _{2}$는 $\displaystyle S _{2} = \frac{11}{12} r ^{2} \pi + \frac{1}{2} r ^{2} \sin 30 ^{\circ}$$\displaystyle = 33 ( 2 + \sqrt{3} ) \pi + 9 ( 2 + \sqrt{3} )$ 따라서, 구하는 넓이는 $\displaystyle S _{2} - S _{1} = 33 ( 2 + \sqrt{3} ) \pi + 9 ( 2 + \sqrt{3} ) - ( 30 \pi + 9 \sqrt{3} )$ $\displaystyle = 3 \pi ( 12 + 11 \sqrt{3} ) + 18$