미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

극한과 급수 성질 보기

문제

무한수열의 극한값과 무한급수의 성질이다. <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. ∑n=1∞an=α\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} a _{n} = \alpha, lim⁡n→∞bn=β\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n} = \beta이면 lim⁡n→∞anbn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} b _{n} = 0이다. (단, α,β\alpha , \beta는 상수) ㄴ. ∑n=1∞(2an+bn)\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} \left( 2 a _{n} + b _{n} \right)과 ∑n=1∞(an−2bn)\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - 2 b _{n} \right)이 수렴하면 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} a _{n}과 ∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} b _{n}이 수렴한다. ㄷ. lim⁡n→∞anbn=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} b _{n} = \alpha이면 lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} 또는 lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n}이 수렴한다. (단, α\alpha는 상수)

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄴ⑤ㄴ, ㄷ

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④

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해설

ㄱ. ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} a _{n} 이 수렴이므로 lim⁡n→∞an=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = 0이고, lim⁡n→∞bn=β\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n} = \beta (상수)이므로 lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞an×lim⁡n→∞bn=0×β=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} b _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} \times \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n} = 0 \times \beta = 0 (참) ㄴ. ∑n=1∞(2an+bn)=∑n=1∞cn=α\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} \left( 2 a _{n} + b _{n} \right) = \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} c _{n} = \alpha, ∑n=1∞(an−2bn)=∑n=1∞dn=β\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - 2 b _{n} \right) = \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} d _{n} = \beta라 하면 an=2cn+dn5,bn=cn−2dn5\displaystyle a _{n} = \frac{2 c _{n} + d _{n}}{5} , b _{n} = \frac{c _{n} - 2 d _{n}}{5}에서 ∑n=1∞an=∑n=1∞2cn+dn5=25α+15β\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} a _{n} = \frac{\sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty {2 c _{n} + d _{n}}}}{5} = \frac{2}{5} \alpha + \frac{1}{5} \beta ∑n=1∞bn=∑n=1∞cn−2dn5=15α−25β\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{c _{n} - 2 d _{n}}{5} = \frac{1}{5} \alpha - \frac{2}{5} \beta (참) ㄷ. (반례) an=(−1)n,bn=(−1)na _{n} = ( - 1 ) ^{n} , b _{n} = ( - 1 ) ^{n} lim⁡n→∞anbn=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} b _{n} = 1이지만 lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n}과 lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n}은 모두 수렴하지 않는다. (거짓)

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#급수#수열의 극한#보기

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