극한값 존재 조건

$f \left( x \right) = x ^{2} + 6 x + 12$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} \frac{x ^{2}}{\left( f \left( x \right) \right) ^{2} - k \left( x + 2 \right) f \left( x \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a} \frac{x ^{2}}{f \left( x \right) \left\{ f \left( x \right) - k \left( x + 2 \right) \right\}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a} \frac{x ^{2}}{\left( x ^{2} + 6 x + 12 \right) \left\{ x ^{2} + \left( 6 - k \right) x + 12 - 2 k \right\}}$$\cdots$$\cdots$ ㉠ 에서 임의의 실수 $a$에 대하여 극한값이 존재한다. $x ^{2} + 6 x + 12 = \left( x + 3 \right) ^{2} + 3$에서 모든 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} + 6 x + 12 > 0$이므로 ㉠의 극한값이 존재하는 경우는 다음과 같다. (ⅰ) 이차방정식 $x ^{2} + \left( 6 - k \right) x + 12 - 2 k = 0$의 실근이 존재하지 않을 때 ㉠의 분모가 $0$이 되는 값이 존재하지 않으므로 임의의 실수 $a$에 대하여 ㉠의 극한값이 존재한다. 이차방정식 $x ^{2} + \left( 6 - k \right) x + 12 - 2 k = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = \left( 6 - k \right) ^{2} - 4 \times 1 \times \left( 12 - 2 k \right) < 0$ $k ^{2} - 4 k - 12 < 0$, $\left( k - 6 \right) \left( k + 2 \right) < 0$ $\therefore$ $- 2 < k < 6$ (ⅱ) 이차방정식 $x ^{2} + \left( 6 - k \right) x + 12 - 2 k = 0$의 실근이 $0$뿐일 때 $x ^{2} + \left( 6 - k \right) x + 12 - 2 k = x ^{2}$에서 $k = 6$ 이때, ㉠에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} \frac{x ^{2}}{\left( x ^{2} + 6 x + 12 \right) \left\{ x ^{2} + \left( 6 - k \right) x + 12 - 2 k \right\}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a} \frac{x ^{2}}{x ^{2} \left( x ^{2} + 6 x + 12 \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a} \frac{1}{x ^{2} + 6 x + 12}$ 이므로 임의의 실수 $a$에 대하여 극한값이 존재한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $k$의 값의 범위는 $- 2 < k \leq 6$ 따라서 조건을 만족시키는 모든 정수 $k$는 $- 1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$의 $8$개다.