극한으로 정의된 함수 연속

[출제의도] 함수의 연속을 이해하여 문제해결하기 $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{x ^{2 n + 1} + 1}{x ^{2 n} + 1}}$에서 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} x _{{} _{}} & ( | x | > 1 ) \\ 1 _{{} _{}} & ( | x | < 1 ) \\ 1 _{{} _{}} & ( x = 1 ) \\ 0 & ( x = - 1 ) \end{cases}}$ 이므로 함수 $f ( x ) g ( x - a )$가 모든 실수 $x$에서 연속이려면 $x = - 1$에서 연속이어야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 - 0} {f ( x ) g ( x - a )}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - 1 - 0} {x \left\{ ( x - a ) ^{2} + 10 ( x - a ) \right\}}$ $= - ( a + 1 ) ( a - 9 ) \cdots \cdots \text{㉠}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 + 0} {f ( x ) g ( x - a )}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - 1 + 0} {1 \cdot \left\{ ( x - a ) ^{2} + 10 ( x - a ) \right\}}$ $= ( a + 1 ) ( a - 9 ) \cdots \cdots \text{㉡}$ $f ( - 1 ) g ( - 1 - a ) = 0 \times g ( - 1 - a ) = 0 \cdots \cdots \text{㉢}$ ㉠, ㉡, ㉢의 값이 모두 같아야 하므로 $a = - 1$ 또는 $a = 9$이다. 따라서 모든 상수 $a$의 값의 합은 $8$