극한으로 정의된 함수 실근

[출제의도] 등비수열의 극한을 이용하여 방정식 문제 해결하기 $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{x ^{2 n - 1} + x}{x ^{2 n} + 2}}$에서 ⅰ) $\left| x \right| > 1$일 때, $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{1}{x} + \frac{x}{x ^{2 n}}}{1 + \frac{2}{x ^{2 n}}} = \frac{1}{x}}$ ⅱ) $x = 1$일 때, $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3}}$ ⅲ) $x = - 1$일 때, $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{- 1 - 1}{1 + 2} = - \frac{2}{3}}$ ⅳ) $\left| x \right| < 1$일 때, $\displaystyle f ( x ) = \frac{0 + x}{0 + 2} = \frac{x}{2}$ 주어진 방정식이 서로 다른 네 실근을 가지기 위해서는 함수 $f ( x )$의 그래프와 함수 $y = ax ^{2} ( a > 0 )$의 그래프가 서로 다른 네 점에서 만나야 하므로 그림과 같이 $y = ax ^{2} ( a > 0 )$의 그래프는 점 $\displaystyle \left( 1 , \frac{2}{3} \right)$을 지나야 한다.

$\displaystyle \frac{2}{3}$ $\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle - \frac{2}{3}$ $\displaystyle - \frac{1}{2}$ $y = ax ^{2}$ $y = f \left( x \right)$

따라서 $\displaystyle a = \frac{2}{3}$이다. $\therefore 60 a = 40$ [참고] 닫힌구간 $[ 0 , 1 ]$에서 $y = ax ^{2}$과 $\displaystyle y = \frac{x}{2}$을 연립하여 풀면 $\displaystyle x = 0 , \frac{1}{2 a}$이다. $\displaystyle 0 < \frac{1}{2 a} < 1$이면 $y = ax ^{2}$과 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$의 그래프는 구간 $[ 0 , 1 )$에서 서로 다른 두 점에서 만나므로 구간 $[ 1 , \infty )$에서 $y = f ( x )$의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만나면 된다.