극한으로 정의된 함수 보기

[출제의도] 극한으로 표현된 함수에 대하여 주어진 명제의 참, 거짓을 판별할 수 있는가? ㄱ. $x > 1$에서 $g \left( x \right) = x$이므로 $h \left( 1 \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {g \left( 1 + t \right)} \times \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} g \left( 1 + t \right)$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \left( 1 + t \right) \times \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} \left( 1 + t \right)$ $= 1 \times 3$ $= 3$ (참) ㄴ. $h \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} g \left( x + t \right) \times \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} g \left( x + t \right)$ 이므로 $x < \mathit{-} 3$일 때 $h \left( x \right) = x \times \left( x + 2 \right)$ $x = \mathit{-} 3$일 때 $h \left( - 3 \right) = \mathit{-} 3 \times f \left( - 1 \right)$ $- 3 < x < \mathit{-} 1$일 때 $h \left( x \right) = x \times f \left( x + 2 \right)$ $x = \mathit{-} 1$일 때 $h \left( - 1 \right) = f \left( - 1 \right) \times 1$ $- 1 < x < 1$일 때 $h \left( x \right) = f \left( x \right) \times \left( x + 2 \right)$ $x = 1$일 때 $h \left( 1 \right) = 1 \times 3$ $x > 1$일 때 $h \left( x \right) = x \times \left( x + 2 \right)$ 즉, $x < \mathit{-} 3$ 또는 $x \geq 1$일 때, 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

$f \left( - 3 \right) \neq 3$이면 함수 $h \left( x \right)$는 $x = \mathit{-} 3$에서 불연속이다. 즉, 함수 $h \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이라 할 수 없다. (거짓) ㄷ. 함수 $g \left( x \right)$가 닫힌구간 $\left[ - 1 , 1 \right]$에서 감소하고 $g \left( - 1 \right) = \mathit{-} 2$일 때, 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다.

이때, $h \left( - 3 \right) = \mathit{-} 3 \times f \left( - 1 \right) = \mathit{-} 3 \times \left( - 2 \right) = 6$ $h \left( - 1 \right) = f \left( - 1 \right) \times 1 = \mathit{-} 2 \times 1 = \mathit{-} 2$ 이다. $- 3 < x < \mathit{-} 1$에서 $h \left( x \right) > 0$ 또 $- 1 < x < 1$에서 $h \left( x \right) = f \left( x \right) \times \left( x + 2 \right)$이므로 $h' \left( x \right) = f' \left( x \right) \times \left( x + 2 \right) + f \left( x \right)$ $f' \left( x \right) < 0 , x + 2 > 0 , f \left( x \right) < 0$ 이므로 $h' \left( x \right) < 0$ 즉, $- 1 < x < 1$에서 함수 $h \left( x \right)$는 감소하고, $f \left( 1 \right) = 3$이므로 함수 $h \left( x \right)$는 최솟값을 갖지 않는다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. [다른 풀이] ㄴ. <반례> $f \left( x \right) = 2$라 하자. $- 3 < x < \mathit{-} 1$일 때, $h \left( x \right) = x \times 2 = 2 x$ $x = \mathit{-} 1$일 때, $h \left( x \right) = 2 \times 1 = 2$ $- 1 < x < 1$일 때, $h \left( x \right) = 2 \left( x + 2 \right)$ 이때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 -} {h \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow - 1 -} 2 x = \mathit{-} 2}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 +} h \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow - 1 +} 2 \left( x + 2 \right) = 2$ $h \left( - 1 \right) = 2$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 -} h \left( x \right) \neq \lim\limits _{x \rightarrow - 1 +} h \left( x \right)$ 이다. 즉, 함수 $h \left( x \right)$는 $x = \mathit{-} 1$에서 불연속이다. (거짓) ㄷ. <반례> $f \left( x \right) = \mathit{-} x - 3$이라 하자. $x < \mathit{-} 3$일 때, $h \left( x \right) = x \left( x + 2 \right)$ $x = \mathit{-} 3$일 때, $h \left( x \right) = \mathit{-} 3 \times \left( - 2 \right) = 6$ $- 3 < x < \mathit{-} 1$일 때, $h \left( x \right) = x \times \left\{ - \left( x + 2 \right) - 3 \right\} = \mathit{-} x \left( x + 5 \right)$ $x = \mathit{-} 1$일 때, $h \left( - 1 \right) = \mathit{-} 2 \times 1 = \mathit{-} 2$ $- 1 < x < 1$일 때, $h \left( x \right) = \left( - x - 3 \right) \times \left( x + 2 \right) = \mathit{-} \left( x + 3 \right) \left( x + 2 \right)$ $x = 1$일 때, $h \left( x \right) = 1 \times 3 = 3$ $x > 1$일 때, $h \left( x \right) = x \left( x + 2 \right)$ 이때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} h \left( x \right) = \mathit{-} 12 ,$ $h \left( 1 \right) = 3$이므로 함수 $h \left( x \right)$의 최솟값은 없다. (거짓)