극한으로 정의된 함수

[출제의도] 함수의 극한값을 계산할 수 있는가? 함수 $f ( x )$는 다음의 네 가지로 나누어 계산할 수 있다. (ⅰ) $- 4 < x < 4$인 경우 $\displaystyle - 1 < \frac{x}{4} < 1$이므로 ∴$\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \left( \frac{x}{4} \right) ^{2n} = 0$ 따라서 $\displaystyle f ( x ) = \frac{2 \times 0 - 1}{0 + 3} = - \frac{1}{3}$ (ⅱ) $x = - 4$인 경우 $\displaystyle f ( x ) = \frac{2 \times ( - 1 ) - 1}{1 + 3} = - \frac{3}{4}$ (ⅲ) $x = 4$이면 $\displaystyle f ( x ) = \frac{2 \times 1 - 1}{1 + 3} = \frac{1}{4}$ (ⅳ) $x < - 4$ 또는 $x > 4$인 경우 $\displaystyle \frac{x}{4} < - 1$ 또는 $\displaystyle \frac{x}{4} > 1$이므로 $\displaystyle f ( x ) = \frac{\lim\limits _{n\rightarrow \infty {2 \times \left( \frac{x}{4} \right) ^{2n+1} - 1}}}{\left( \frac{x}{4} \right) ^{2n} + 3}$$\displaystyle = \frac{\lim\limits _{n\rightarrow \infty {2 \times \frac{x}{4} - \frac{1}{\left( \frac{x}{4} \right) ^{2n}}}}}{1 + \frac{3}{\left( \frac{x}{4} \right) ^{2n}}}$ $\displaystyle = \frac{\frac{x}{2} - 0}{1 + 0} = \frac{x}{2}$ $\displaystyle f ( k ) = \frac{k}{2} = - \frac{1}{3}$에서 $\displaystyle k = - \frac{2}{3}$이고 이는 정수가 아니므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅰ)~(ⅳ)에서 $\displaystyle f ( k ) = - \frac{1}{3}$을 만족시키는 정수 $k$의 개수는 $- 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3$의 $7$이다.