극한으로 정의된 함수

$\displaystyle f' \left( x \right) = \frac{3}{2} x ^{2} - 3 x = \frac{3}{2} x \left( x - 2 \right) = 0$에서 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 0$에서 극댓값 $5$, $x = 2$에서 극솟값 $3$을 갖는다. $f \left( x \right) = 5$에서 $x ^{2} \left( x - 3 \right) = 0$, $x = 0$ 또는 $x = 3$이고 $f \left( x \right) = - 5$에서 $\left( x + 2 \right) \left( x ^{2} - 5 x + 10 \right) = 0$, $x = - 2$이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} g \left( x \right) = g \left( 0 \right) = 5$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. $\displaystyle h \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\left( f \left( x \right) \right) ^{2 n + 1} + 5 ^{2 n} \times g \left( x \right)}{\left( f \left( x \right) \right) ^{2 n} + 5 ^{2 n}}$에서 (ⅰ) $\left| f \left( x \right) \right| > 5$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{5}{f \left( x \right)} \right) ^{2 n} = 0$이므로 $\displaystyle h \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{f \left( x \right) + g \left( x \right) \left( \frac{5}{f \left( x \right)} \right) ^{2 n}}{1 + \left( \frac{5}{f \left( x \right)} \right) ^{2 n}} = f \left( x \right)$ (ⅱ) $\left| f \left( x \right) \right| = 5$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{5}{f \left( x \right)} \right) ^{2 n} = 1$이므로 $\displaystyle h \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{f \left( x \right) + g \left( x \right) \left( \frac{5}{f \left( x \right)} \right) ^{2 n}}{1 + \left( \frac{5}{f \left( x \right)} \right) ^{2 n}} = \frac{f \left( x \right) + g \left( x \right)}{2}$ (ⅲ) $\left| f \left( x \right) \right| < 5$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{f \left( x \right)}{5} \right) ^{2 n} = 0$이므로 $\displaystyle h \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{f \left( x \right) \left( \frac{f \left( x \right)}{5} \right) ^{2 n} + g \left( x \right)}{\left( \frac{f \left( x \right)}{5} \right) ^{2 n} + 1} = g \left( x \right)$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 함수 $h \left( x \right)$는 $\displaystyle h \left( x \right) = \begin{cases} f \left( x \right) & & \left( \left| f \left( x \right) \right| > 5 \right) \\ \frac{f \left( x \right) + g \left( x \right)}{2} & & \left( \left| f \left( x \right) \right| = 5 \right) \\ g \left( x \right) & & \left( \left| f \left( x \right) \right| < 5 \right) \end{cases}$ 이다. 함수 $h \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle h \left( - 2 \right) = \lim\limits _{x \rightarrow - 2} h \left( x \right)$이다. $\left| f \left( - 2 \right) \right| = 5$이므로 $\displaystyle h \left( - 2 \right) = \lim\limits _{x \rightarrow - 2 -} h \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow - 2 -} f \left( x \right) = f \left( - 2 \right)$ $\displaystyle h \left( - 2 \right) = \lim\limits _{x \rightarrow - 2 +} h \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow - 2 +} g \left( x \right) = g \left( - 2 \right)$ 즉 $f \left( - 2 \right) = g \left( - 2 \right)$, $- 5 = 2 p - q + 5$, $q = 2 p + 10$ 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

직선 $\displaystyle y = \left( k - \frac{1}{2 ^{n}} \right) x + 5$에서 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle k - 1 < k - \frac{1}{2 ^{n}} < k$이다. 두 점 $\left( - 2 , - 5 \right)$, $\left( 0 , 5 \right)$를 지나는 직선의 기울기가 $5$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} \frac{h \left( x \right) - h \left( 0 \right)}{x} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} \left( \frac{p}{2} x + \frac{q}{2} \right) = \frac{q}{2}$이다. $k \leq 5$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 2 -} \frac{h \left( x \right) - h \left( - 2 \right)}{x + 2} = \lim\limits _{x \rightarrow - 2 -} \frac{1}{2} \left( x ^{2} - 5 x + 10 \right) = 12$ 이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} = 2$, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = 2$ $\displaystyle 5 < k \leq \frac{q}{2}$일 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} = 4$, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = 4$이다. $\displaystyle k > \frac{q}{2}$일 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} = 3$, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = 3$이다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = 4$가 되도록 하는 자연수 $k$의 개수가 $7$이므로 $\displaystyle 5 < k \leq \frac{q}{2}$에서 $\displaystyle 12 \leq \frac{q}{2} < 13$, $24 \leq q < 26$이다. $q$가 자연수이므로 $q = 24$ 또는 $q = 25$이고, $\displaystyle p = \frac{q - 10}{2}$에서 $p$가 자연수이므로 $p = 7$, $q = 24$이다. $h \left( 4 \right) = f \left( 4 \right) = 32 - 24 + 5 = 13$이므로 $p + q + h \left( 4 \right) = 44$