극한으로 정의된 함수

$\displaystyle f \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\left( \frac{x}{5} \right) ^{n + 1} + 2 x}{\left( \frac{x}{5} \right) ^{n} + 1}$ (ⅰ) $\displaystyle 0 < \frac{x}{5} < 1$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{x}{5} \right) ^{n} = 0$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\left( \frac{x}{5} \right) ^{n + 1} + 2 x}{\left( \frac{x}{5} \right) ^{n} + 1} = 2 x$ $f \left( k \right) = 2 k = 5$에서 $\displaystyle k = \frac{5}{2}$ (ⅱ) $\displaystyle \frac{x}{5} = 1$인 경우 $x = 5$이므로 $\displaystyle f \left( 5 \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1 + 2 \times 5}{1 + 1} = \frac{11}{2}$ $f \left( 5 \right) \neq 5$ (ⅲ) $\displaystyle \frac{x}{5} > 1$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{x}{5} \right) ^{n} = \infty$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\left( \frac{x}{5} \right) ^{n}} = 0$ $\displaystyle f \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{x}{5} + \frac{2 x}{\left( \frac{x}{5} \right) ^{n}}}{1 + \frac{1}{\left( \frac{x}{5} \right) ^{n}}} = \frac{x}{5}$ $\displaystyle f \left( k \right) = \frac{k}{5} = 5$에서 $k = 25$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $f \left( k \right) = 5$인 모든 양수 $k$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{5}{2} + 25 = \frac{55}{2}$