극한으로 정의된 함수

(ⅰ) $\left| x \right| < 1$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} x ^{2 n + 2} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} x ^{2 n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} x ^{n} = 0$이므로 $g \left( x \right) = f \left( x \right)$ (ⅱ) $\left| x \right| > 1$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x ^{2 n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x ^{n}} = 0$이므로 $\displaystyle g \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{2 x ^{2} + \frac{1}{x ^{n}} + \frac{f \left( x \right)}{x ^{2 n}}}{1 + \frac{1}{x ^{n}} + \frac{1}{x ^{2 n}}} = 2 x ^{2}$ (ⅲ) $x = - 1$인 경우 $\displaystyle g \left( - 1 \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{2 + \left( - 1 \right) ^{n} + f \left( - 1 \right)}{2 + \left( - 1 \right) ^{n}}$ 수열 $\displaystyle \left\{ \frac{2 + \left( - 1 \right) ^{n} + f \left( - 1 \right)}{2 + \left( - 1 \right) ^{n}} \right\}$의 값은 교대로 $1 + f \left( - 1 \right)$과 $\displaystyle 1 + \frac{f \left( - 1 \right)}{3}$이 된다. $f \left( - 1 \right) \neq 0$이면 이 수열은 발산하므로 조건을 만족시키지 않고, $f \left( - 1 \right) = 0$이면 이 수열은 수렴하므로 $f \left( - 1 \right) = 0$, $g \left( - 1 \right) = 1$ (ⅳ) $x = 1$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} x ^{2 n + 2} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} x ^{2 n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} x ^{n} = 1$ 이므로 $\displaystyle g \left( 1 \right) = \frac{3 + f \left( 1 \right)}{3}$이다. $f \left( 1 \right) = a + b = - f \left( - 1 \right) = 0$이므로 $b = - a$, $g \left( 1 \right) = 1$ (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 함수 $g \left( x \right)$는 $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} f \left( x \right) & & \left( \left| x \right| < 1 \right) \\ 1 & & \left( \left| x \right| = 1 \right) \\ 2 x ^{2} & & \left( \left| x \right| > 1 \right) \end{cases}$ $f \left( x \right) = ax ^{3} + bx \left( a > 0 \right)$에서 $b = - a$이므로 $f \left( x \right) = ax \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right)$ $f' \left( x \right) = 3 ax ^{2} - a = 0$에서 함수 $f \left( x \right)$는 $\displaystyle x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$에서 극대이고 $\displaystyle x = \frac{\sqrt{3}}{3}$에서 극소이다. 이때, 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = k$가 만나는 점의 개수가 $1$이 되도록 하는 자연수 $k$가 존재하므로 조건을 만족시키는 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 $f \left( x \right)$의 극댓값 $\displaystyle f \left( - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$은 $2$이므로 $\displaystyle f \left( - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = - \frac{\sqrt{3} a}{9} + \frac{\sqrt{3} a}{3} = \frac{2 \sqrt{3} a}{9} = 2$에서 $\displaystyle a = 3 \sqrt{3}$ $\displaystyle f \left( x \right) = 3 \sqrt{3} x \left( x ^{2} - 1 \right)$이므로 $\displaystyle g \left( - \frac{1}{2} \right) \times g \left( 2 \right) = f \left( - \frac{1}{2} \right) \times 8 = \frac{9 \sqrt{3}}{8} \times 8 = 9 \sqrt{3}$