극한으로 정의된 함수

[출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기 (ⅰ) $\displaystyle 0 < x < \frac{4}{x}$일 때, $0 < x < 2$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{x ^{2}}{4} \right) ^{n} = 0$ $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{x \times \left( \frac{x ^{2}}{4} \right) ^{n} + 1}{\left( \frac{x ^{2}}{4} \right) ^{n} + \frac{4}{x}} = \frac{x}{4}$ $f ( x ) = 2 x - 3$에서 $\displaystyle x = \frac{12}{7}$ (ⅱ) $\displaystyle x = \frac{4}{x}$일 때, $x = 2$이므로 $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{2 ^{n + 1} + 2 ^{n}}{2 ^{n} + 2 ^{n + 1}} = 1$ 그러므로 $x = 2$는 방정식 $f ( x ) = 2 x - 3$의 실근이다. (ⅲ) $\displaystyle 0 < \frac{4}{x} < x$일 때, $x > 2$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{4}{x ^{2}} \right) ^{n} = 0$ $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{x + \left( \frac{4}{x ^{2}} \right) ^{n}}{1 + \frac{4}{x} \times \left( \frac{4}{x ^{2}} \right) ^{n}} = x$ $f ( x ) = 2 x - 3$에서 $x = 3$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 모든 실근의 합은 $\displaystyle \frac{12}{7} + 2 + 3 = \frac{47}{7}$