극한으로 정의된 함수

[출제의도] 수열의 극한값을 구하는 방법을 이해하여 그 값을 구한다. 직선 $y = g ( x )$는 원점과 점 $( 3 , 3 )$을 지나므로 직선의 방정식은 $y = x$이다. 문제에서 $f ( 2 ) = 4$, $g ( 2 ) = 2$이므로 $h ( 2 )$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left\{ f ( 2 ) \right\} ^{n + 1} + 5 \left\{ g ( 2 ) \right\} ^{n}}{\left\{ f ( 2 ) \right\} ^{n} + \left\{ g ( 2 ) \right\} ^{n}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{4 ^{n + 1} + 5 \times 2 ^{n}}{4 ^{n} + 2 ^{n}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{4 + 5 \times \left( \frac{2}{4} \right) ^{n}}{1 + \left( \frac{2}{4} \right) ^{n}}}$$= 4$ 마찬가지로 문제에서 $f ( 3 ) = 3$, $g ( 3 ) = 3$이므로 $h ( 3 )$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left\{ f ( 3 ) \right\} ^{n + 1} + 5 \left\{ g ( 3 ) \right\} ^{n}}{\left\{ f ( 3 ) \right\} ^{n} + \left\{ g ( 3 ) \right\} ^{n}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 ^{n + 1} + 5 \times 3 ^{n}}{3 ^{n} + 3 ^{n}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{8 \times 3 ^{n}}{2 \times 3 ^{n}}}$$= 4$ 따라서 $h ( 2 ) + h ( 3 ) = 8$