극한으로 정의된 함수

$x > 0$일 때, 함수 $g \left( x \right)$를 구하면 다음과 같다. (ⅰ) $0 < x < m$이면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{x}{m} \right) ^{n} = 0$이므로 $g \left( x \right) = x$ (ⅱ) $x = m$이면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{x}{m} \right) ^{n} = 1$이므로 $\displaystyle g \left( m \right) = \frac{f \left( m \right) + m}{2}$ (ⅲ) $x > m$이면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{m}{x} \right) ^{n} = 0$이므로 $\displaystyle g \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{f \left( x \right) + x \times \left( \frac{m}{x} \right) ^{n}}{1 + \left( \frac{m}{x} \right) ^{n}} = f \left( x \right)$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} x & & \left( 0 < x < m \right) \\ \frac{f \left( m \right) + m}{2} & & \left( x = m \right) \\ f \left( x \right) & & \left( x > m \right) \end{cases}}$ 조건 (가)에서 함수 $g \left( x \right)$가 $x = m$에서 미분가능하고 연속이므로 $1 = f' \left( m \right)$, $m = f \left( m \right)$ 조건 (나)에서 $g \left( k \right) g \left( k + 1 \right) = 0$을 만족시키는 자연수 $k$의 개수가 $\mathrm{3}$이므로 $g \left( x \right) = 0$을 만족시키는 자연수 $x$는 연속된 $\mathrm{2}$개의 자연수이다. 이 두 자연수를 $\alpha$, $\alpha + 1$이라 하면 함수 $g \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

방정식 $f \left( x \right) = 0$의 세 근을 $\alpha$, $\alpha + 1$, $\beta$라 하자. (ⅰ) $g \left( m \right) < g \left( m + 1 \right)$일 때, $g' ( m + 1 ) \leq 0$이므로 조건 (다)에서 $g ( l ) \geq g ( l + 1 )$을 만족시키는 세 자연수 $l$은 $m + 1$, $m + 2$, $m + 3$이므로 $\alpha = m + 3$ $f \left( x \right)$$= ( x - \alpha ) ( x - \alpha - 1 ) ( x - \beta )$ $= ( x - m - 3 ) ( x - m - 4 ) ( x - \beta )$ $= \left\{ x ^{2} - ( 2 m + 7 ) x + m ^{2} + 7 m + 12 \right\} ( x - \beta )$ $f' \left( x \right) = \left( 2 x - 2 m - 7 \right) \left( x - \beta \right)$$+ \left\{ x ^{2} - ( 2 m + 7 ) x + m ^{2} + 7 m + 12 \right\}$ $f' \left( m \right) = - 7 \left( m - \beta \right) + 12$ $f' \left( m \right) = 1$이므로 $- 7 \left( m - \beta \right) + 12 = 1$, $\displaystyle m - \beta = \frac{11}{7}$ $\displaystyle m = f \left( m \right) = 12 \left( m - \beta \right) = \frac{132}{7}$이므로 모순이다. (ⅱ) $g \left( m \right) \geq g \left( m + 1 \right)$일 때, 조건 (다)에서 $g \left( l \right) \geq g \left( l + 1 \right)$을 만족시키는 세 자연수 $l$은 $m$, $m + 1$, $m + 2$이므로 $\alpha = m + 2$ $f \left( x \right)$$= \left( x - \alpha \right) \left( x - \alpha - 1 \right) \left( x - \beta \right)$ $= \left( x - m - 2 \right) \left( x - m - 3 \right) \left( x - \beta \right)$ $= \left\{ x ^{2} - \left( 2 m + 5 \right) x + m ^{2} + 5 m + 6 \right\} \left( x - \beta \right)$ $f' \left( x \right) = \left( 2 x - 2 m - 5 \right) \left( x - \beta \right)$$+ \left\{ x ^{2} - \left( 2 m + 5 \right) x + m ^{2} + 5 m + 6 \right\}$ $f' \left( m \right) = - 5 \left( m - \beta \right) + 6$ $f' \left( m \right) = 1$이므로 $- 5 \left( m - \beta \right) + 6 = 1$, $m - \beta = 1$ $m = f \left( m \right) = 6 \left( m - \beta \right) = 6$ $m = 6$일 때, $f \left( x \right) = \left( x - 5 \right) \left( x - 8 \right) \left( x - 9 \right)$에서 $g' \left( m + 1 \right) = f' \left( m + 1 \right) = - 4$이므로 조건 (가)를 만족시키고, $g \left( m \right) = f \left( m \right) \geq f \left( m + 1 \right) = g \left( m + 1 \right)$이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $f \left( x \right) = \left( x - 5 \right) \left( x - 8 \right) \left( x - 9 \right)$이므로 $g \left( 12 \right) = f \left( 12 \right) = 7 \times 4 \times 3 = 84$