극한으로 정의된 함수

[출제의도] 수열의 극한으로 정의된 함수의 그래프에 대한 문제를 해결한다. $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{x ^{2 n + 1} - x}{x ^{2 n} + 1}}$에서 $\left| x \right| < 1$이면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{2 n}}$$= 0$이므로 $f ( x )$$= \mathit{-} x$ $\left| x \right| = 1$이면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{2 n}}$$= 1$이므로 $f ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{x ( x ^{2 n} - 1 )}{x ^{2 n} + 1}}$$= 0$ $\left| x \right| > 1$이면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{1}{x} \right) ^{2 n}}$$= 0$이므로 $f ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{x - x \left( \frac{1}{x} \right) ^{2 n}}{1 + \left( \frac{1}{x} \right) ^{2 n}}}$$= x$ 그러므로 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} - x & & \left( \left| x \right| < 1 \right) \\ 0 & & \left( \left| x \right| = 1 \right) \\ x & & \left( \left| x \right| > 1 \right) \end{cases}}$ 자연수 $k$에 대하여 (ⅰ) $2 k - 2 {\leq} \left| x \right| < 2 k - 1$일 때 $\displaystyle \left| \frac{x}{2 k - 1} \right| < 1$이므로 $g ( x )$$\displaystyle = \left( 2 k - 1 \right) \times \left( - \frac{x}{2 k - 1} \right)$$= \mathit{-} x$ (ⅱ) $\left| x \right| = 2 k - 1$일 때 $\displaystyle \left| \frac{x}{2 k - 1} \right| = 1$이므로 $g ( x )$$= \left( 2 k - 1 \right) \times 0$$= 0$ (ⅲ) $2 k - 1 < \left| x \right| < 2 k$일 때 $\displaystyle \left| \frac{x}{2 k - 1} \right| > 1$이므로 $g ( x )$$\displaystyle = \left( 2 k - 1 \right) \times \left( \frac{x}{2 k - 1} \right)$$= x$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

$t = 2 m - 1$($m$은 정수)일 때 직선 $y = t$는 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 만나지 않는다. 따라서 $0 < t < 10$인 모든 $t$의 값의 합은 $1 + 3 + 5 + 7 + 9$$= 25$