극한으로 정의된 함수

[출제의도] 수열의 극한 이해하기 $\left| x > 2 \right|$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{2}{x} \right) ^{2 n}$$= 0$이므로 $f \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 \times \left( \frac{x}{2} \right) ^{2 n + 1} - 1}{\left( \frac{x}{2} \right) ^{2 n} + 1}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\frac{3}{2} x - \left( \frac{2}{x} \right) ^{2 n}}{1 + \left( \frac{2}{x} \right) ^{2 n}}$$\displaystyle = \frac{\frac{3}{2} x - 0}{1 + 0}$$\displaystyle = \frac{3}{2} x$ $x$$= 2$일 때, $f \left( 2 \right)$$\displaystyle = \frac{3 - 1}{1 + 1}$$= 1$ $x$$= \mathit{-} 2$일 때, $f \left( - 2 \right)$$\displaystyle = \frac{\mathit{-} 3 - 1}{1 + 1}$$= \mathit{-} 2$ $\left| x \right| < 2$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{x}{2} \right) ^{2 n}$$= 0$이므로 $f \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 \times \left( \frac{x}{2} \right) ^{2 n + 1} - 1}{\left( \frac{x}{2} \right) ^{2 n} + 1}$$\displaystyle = \frac{0 - 1}{0 + 1}$$= \mathit{-} 1$ 그러므로 $f \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \begin{matrix} \frac{3}{2} x \\ 1 \end{matrix} & \begin{matrix} \left( \left| x \right| > 2 \right) \\ \begin{aligned} \\ \left( x = 2 \right) \end{aligned} \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} & \begin{matrix} \left( x = \mathit{-} 2 \right) \\ \left( \left| x \right| < 2 \right) \end{matrix} \end{cases}}$ $\left| k \right| > 2$이면 $f \left( k \right)$$\displaystyle = \frac{3}{2} k$이므로 $\left| k \right| > 2$에서 $f \left( k \right)$$= k$를 만족시키지 않는다. $k$$= 2$이면 $f \left( 2 \right)$$= 1$이므로 $k$$= 2$에서 $f \left( k \right)$$= k$를 만족시키지 않는다. $k$$= \mathit{-} 2$이면 $f \left( - 2 \right)$$= \mathit{-} 2$이므로 $k$$= \mathit{-} 2$에서 $f \left( k \right)$$= k$를 만족시킨다. $\left| k \right| < 2$이면 $f \left( k \right)$$= \mathit{-} 1$이므로 $k$$= \mathit{-} 1$에서 $f \left( k \right)$$= k$를 만족시킨다. 따라서 $f \left( k \right)$$= k$를 만족시키는 모든 실수 $k$의 값의 합은 $- 2 + \left( - 1 \right)$$= \mathit{-} 3$