미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

극한으로 정의된 함수

문제

함수 $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{{x} ^{2 n + 4} + 2 x}{{x} ^{2 n} + 1}$ 일 때, $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) + f ( 2 )$ 의 값을 구하시오. [2점]

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해설

(i) $\left| x \right| < 1$ 일 때, $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{x ^{2n+4} + 2 x}{x ^{2n} + 1} = 2 x$ (ii) $\left| x \right| > 1$ 일 때, $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{x ^{4} + \frac{2}{x ^{2n-1}}}{1 + \frac{1}{x ^{2n}}}$ $\displaystyle = \frac{x ^{4} + 0}{1 + 0} = x ^{4}$ 따라서, $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) + f ( 2 ) =$ $1 + 16 = 17$

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