극한으로 이차함수 결정

두 이차함수 $f ( x )$, $g ( x )$의 $x ^{2}$의 계수를 각각 $a$, $b \left( a \ne 0 , b \ne 0 \right)$이라 하자. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right) - x ^{2}} = 1$이므로 두 다항식 $f ( x )$와 $g ( x ) - x ^{2}$의 차수는 $\mathrm{2}$이고 $\displaystyle \frac{a}{b - 1} = 1$, $a = b - 1$, $b - a = 1$이므로 $g \left( x \right) - f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $\mathrm{1}$인 이차함수이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} \frac{g ( x ) - f ( x )}{x - 3}$의 값이 존재하므로 다항식 $g \left( x \right) - f \left( x \right)$는 $x - 3$을 인수로 갖는다. $g ( x ) - f ( x ) = ( x - 3 ) ( x + k ) ( k$는 실수$)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \frac{g \left( x \right) - f \left( x \right)}{x - 3}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \frac{\left( x - 3 \right) \left( x + k \right)}{x - 3}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \left( x + k \right) = 3 + k = 8$ $k = 5$이므로 $g \left( x \right) - f \left( x \right) = \left( x - 3 \right) \left( x + 5 \right)$ 따라서 $g \left( 5 \right) - f \left( 5 \right) = 20$