극한 미존재 조건

이차함수 $f \left( x \right)$가 $x$축과 만나지 않으면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k} \frac{f \left( x \right)}{f' \left( x \right) f \left( x - 4 \right)}$의 값이 존재하지 않는 실수 $k$ 개수가 $1$이므로 조건을 만족시키지 않는다. 따라서 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f \left( x \right)$에 대하여 이차방정식 $f \left( x \right) = 0$의 두 실근을 $\alpha$, $\beta$라 하면 $f \left( x \right) = \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right)$ 로 놓을 수 있다. $f' \left( x \right) = 2 x - \left( \alpha + \beta \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k} \frac{f \left( x \right)}{f' \left( x \right) f \left( x - 4 \right)}$의 값이 존재하지 않아야 하므로 $f' \left( x \right) = 0$ 또는 $f \left( x - 4 \right) = 0$ 이고 $f \left( x \right) \ne 0$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle x = \frac{\alpha + \beta}{2}$ $f \left( x - 4 \right) = 0$에서 $x - 4 = \alpha$ 또는 $x - 4 = \beta$ $\therefore$ $x = \alpha + 4$ 또는 $x = \beta + 4$ 따라서 분모를 $0$으로 만드는 $k$의 값은 $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2}$, $\alpha + 4$, $\beta + 4$ 이때 극한값이 존재하지 않는 $k$의 값이 $p$와 $4$뿐이므로 이 두 값은 집합 $\displaystyle \left\{ \frac{\alpha + \beta}{2} , \alpha + 4 , \beta + 4 \right\}$에 속하면서 분자를 $0$으로 만들지 않아야 한다. 분자가 $0$이 되는 경우는 $f \left( k \right) = 0$이므로 $k = \alpha$ 또는 $k = \beta$ (ⅰ) 방정식 $f \left( x \right) = 0$이 서로 다른 두 실근을 갖는 경우 분모를 $0$으로 만드는 값의 집합을 $D$라고 하면 $\displaystyle D = \left\{ \frac{\alpha + \beta}{2} , \alpha + 4 , \beta + 4 \right\}$ 분자를 $0$으로 만드는 값의 집합을 $N$이라 하면 $N = \left\{ \alpha , \beta \right\}$ 에 대하여, 극한이 존재하지 않게 하는 $k$값의 집합은 $D - N$이고 이 집합이 $\left\{ p , 4 \right\}$가 되어야 한다. (a) $D$의 원소 중 하나가 $N$의 원소와 같은 경우 $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2} = \alpha$ 또는 $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2} = \beta$이면 $\alpha = \beta$이므로 모순이다. $\alpha + 4 = \alpha$ 또는 $\beta + 4 = \beta$는 성립하지 않으므로 $\alpha + 4 = \beta$ 또는 $\beta + 4 = \alpha$ $\beta = \alpha + 4$라고 하면 $\displaystyle D = \left\{ \frac{\alpha + \left( \alpha + 4 \right)}{2} , \alpha + 4 , \left( \alpha + 4 \right) + 4 \right\}$ $= \left\{ \alpha + 2 , \alpha + 4 , \alpha + 8 \right\}$ $N = \left\{ \alpha , \beta \right\} = \left\{ \alpha , \alpha + 4 \right\}$ $\therefore$ $D - N = \left\{ \alpha + 2 , \alpha + 8 \right\}$$= \left\{ p , 4 \right\}$ 이때 $p < 4$이므로 $\alpha + 2 = p$이고 $\alpha + 8 = 4$ $\alpha = - 4$ 이고 $\beta = \alpha + 4 = 0$ $f \left( x \right) = x \left( x + 4 \right) = x ^{2} + 4 x$이므로 $f \left( 1 \right) = 1 + 4 = 5$ (b) $D$의 원소끼리 중복되는 경우 $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2} = \alpha + 4$이면 $\beta = \alpha + 8$ $\displaystyle D = \left\{ \frac{\alpha + \left( \alpha + 8 \right)}{2} , \alpha + 4 , \left( \alpha + 8 \right) + 4 \right\}$$= \left\{ \alpha + 4 , \alpha + 12 \right\}$ $N = \left\{ \alpha , \beta \right\} = \left\{ \alpha , \alpha + 8 \right\}$ $D$와 $N$은 서로소이므로 $D - N = D = \left\{ \alpha + 4 , \alpha + 12 \right\}$$= \left\{ p , 4 \right\}$ 이때 $p < 4$이므로 $\alpha + 4 = p$, $\alpha + 12 = 4$ $\therefore$ $\alpha = - 8$, $\beta = \alpha + 8 = 0$ 따라서 $f \left( x \right) = x \left( x + 8 \right) = x ^{2} + 8 x$이므로 $f \left( 1 \right) = 1 + 8 = 9$ (ⅱ) 방정식 $f \left( x \right) = 0$가 중근을 가질 때 $f \left( x \right) = \left( x - \alpha \right) ^{2}$에서 $f' \left( x \right) = 2 \left( x - \alpha \right)$ $D = \left\{ \alpha , \alpha + 4 \right\}$, $N = \left\{ \alpha \right\}$ $D - N = \left\{ \alpha + 4 \right\}$ 극한값이 존재하지 않는 $k$가 하나뿐이므로, 문제의 조건을 만족하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에 의해 가능한 $f \left( x \right)$는 $f \left( x \right) = x ^{2} + 4 x$ 또는 $f \left( x \right) = x ^{2} + 8 x$ 이므로 $f \left( 1 \right) = 5$ 또는 $f \left( 1 \right) = 9$ 따라서 모든 이차함수 $f \left( x \right)$에 대하여 $f \left( 1 \right)$의 값의 합은 $5 + 9 = 14$