극한 존재 조건

모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) \geq g \left( x \right)$이면 $h \left( x \right) = g \left( x \right) + f \left( x \right)$이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. 그러므로 두 함수 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만난다. 방정식 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$의 서로 다른 두 실근을 $x _{1}$, $x _{2} \left( x _{1} < x _{2} \right)$라 하자. $x \leq x _{1}$일 때, $f \left( x \right) \geq g \left( x \right)$ $x _{1} < x < x _{2}$일 때, $f \left( x \right) < g \left( x \right)$ $x \geq x _{2}$일 때, $f \left( x \right) \geq g \left( x \right)$를 만족시킨다. $\displaystyle h \left( x \right) = \begin{cases} g \left( x \right) + f \left( x \right) & & \left( x \leq x _{1} \text{또는} x \geq x _{2} \right) \\ g \left( x \right) - f \left( x \right) & & \left( x _{1} < x < x _{2} \right) \end{cases}$ 함수 $h \left( x \right)$는 $x = x _{1}$과 $x = x _{2}$를 제외한 모든 실수에서 극한값을 가지므로 조건 (가)에 의하여 $x _{1} = 2$ 또는 $x _{2} = 2$ (ⅰ) $x _{1} = 2$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow x _{2} -} h \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow x _{2} +} h \left( x \right)$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow x _{2} -} h \left( x \right) = g \left( x _{2} \right) - f \left( x _{2} \right) = 0$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow x _{2} +} h \left( x \right) = g \left( x _{2} \right) + f \left( x _{2} \right) = 2 g \left( x _{2} \right)$이므로 $g \left( x _{2} \right) = 0$ 직선 $y = g \left( x \right)$의 기울기가 양수이므로 $g \left( x _{1} \right) = g \left( 2 \right) < 0$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow x _{1} -} h \left( x \right) = g \left( x _{1} \right) + f \left( x _{1} \right) = 2 g \left( x _{1} \right) = 2 g \left( 2 \right)$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow x _{1} +} h \left( x \right) = g \left( x _{1} \right) - f \left( x _{1} \right) = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow x _{1} -} \left| h \left( x \right) - 1 \right| = \left| 2 g \left( 2 \right) - 1 \right| > 1$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow x _{1} +} \left| h \left( x \right) - 1 \right| = \left| 0 - 1 \right| = 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow x _{1} +} \left| h \left( x \right) - 1 \right|$의 값이 존재하지 않으므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $x _{2} = 2$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow x _{1} -} h \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow x _{1} +} h \left( x \right)$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow x _{1} -} h \left( x \right) = g \left( x _{1} \right) + f \left( x _{1} \right) = 2 g \left( x _{1} \right)$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow x _{1} +} h \left( x \right) = g \left( x _{1} \right) - f \left( x _{1} \right) = 0$이므로 $g \left( x _{1} \right) = 0$ 직선 $y = g \left( x \right)$의 기울기가 양수이므로 $g \left( x _{2} \right) = g \left( 2 \right) > 0$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow x _{2} -} h \left( x \right) = g \left( x _{2} \right) - f \left( x _{2} \right) = 0$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow x _{2} +} h \left( x \right) = g \left( x _{2} \right) + f \left( x _{2} \right) = 2 g \left( x _{2} \right) = 2 g \left( 2 \right)$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow x _{2} -} \left| h \left( x \right) - 1 \right| = \left| 0 - 1 \right| = 1$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow x _{2} +} \left| h \left( x \right) - 1 \right| = \left| 2 g \left( 2 \right) - 1 \right|$ 조건 (나)에 의하여 $g \left( 2 \right) = 1$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $x _{2} = 2$ $\displaystyle g \left( 2 \right) = \frac{2}{3} + a = 1$, $\displaystyle a = \frac{1}{3}$이므로 $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}$ $\displaystyle g \left( x _{1} \right) = \frac{1}{3} x _{1} + \frac{1}{3} = 0$, $x _{1} = - 1$ $f \left( x _{1} \right) = f \left( - 1 \right) = g \left( - 1 \right) = 0$ $f \left( x _{2} \right) = f \left( 2 \right) = g \left( 2 \right) = 1$ 상수 $p$에 대하여 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = p \left( x + 1 \right) \left( x - 2 \right)$라 하면 $x _{1} < 0 < x _{2}$이므로 $\displaystyle h \left( 0 \right) = g \left( 0 \right) - f \left( 0 \right) = 2 p = \frac{7}{3}$ $\displaystyle p = \frac{7}{6}$ $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{7}{6} \left( x + 1 \right) \left( x - 2 \right) + g \left( x \right)$ $x _{2} < 5$이므로 $h \left( 5 \right) = g \left( 5 \right) + f \left( 5 \right) = 2 + \left( 21 + 2 \right) = 25$