극한 존재 조건

[출제의도] 함수의 극한에 대한 성질을 이용하여 문제 해결하기 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 2 m$을 제외한 모든 실수에서 극한값을 가지므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 m -} {f \left( x \right)} \mathit{\ne} \lim\limits _{x \rightarrow 2 m +} {f \left( x \right)}$ $\cdots$㉠ 조건 (가)에서 $\alpha = 2 m$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 m} {g \left( x \right)}$의 값이 존재한다고 가정하면 조건 (나)에 의하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 m} {f \left( x \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 m} {\left\{ \frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} \times g \left( x \right) \right\}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 m} {\frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} \times \lim\limits _{x \rightarrow 2 m} {g \left( x \right)}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 m} {f \left( x \right)}$의 값이 존재하므로 ㉠을 만족시키지 않는다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 m} {g \left( x \right)}$의 값은 존재하지 않는다. 조건 (가)에 의하여 $\beta = 2 m$ 함수 $g \left( x \right)$는 $x = m + 1$을 제외한 모든 실수에서 극한값을 가지므로 $2 m = m + 1$, $m = 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {g \left( x \right) \mathit{=} \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\left( ax - a \right) =} 0}$이고 조건 (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)}}$의 값이 존재하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {f \left( x \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\left\{ x ^{2} + \left( a - 1 \right) x - a ^{2} + 2 \right\}}$ $= \mathit{-} a ^{2} + a + 2 = \mathit{-} \left( a + 1 \right) \left( a - 2 \right) = 0$ $a = \mathit{-} 1$ 또는 $a = 2$ (ⅰ) $a = \mathit{-} 1$ 인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} \mathit{=} \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{x ^{2} - 2 x + 1}{- x + 1}}} = \mathit{-} 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} \mathit{=} \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{- 3 x - 4}{x + 2} =} - \frac{5}{2}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} \ne \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)}}}$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a = 2$ 인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} \mathit{=} \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{x ^{2} + x - 2}{2 x - 2} =} 2}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} \mathit{=} \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{- 3 x + 8}{x - 1} =} 2}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} \mathit{=} \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)}}}$이므로 조건 (나)를 만족시킨다. (ⅰ), (ⅱ) 에 의하여 $a = 2$, $m = 2 - 1 = 1$

따라서 $m + g \left( a ^{2} \right) = 1 + g \left( 4 \right) = 1 + 3 = 4$