극한 조건과 미분계수

[출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 문제를 해결한다. 조건 (가)에서 $x \rightarrow 1$일 때, (분모)$\rightarrow 0$이므로 (분자)$\rightarrow 0$이다. 즉, $f ( 1 )$$= g ( 1 )$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( x ) - g ( x )}{x - 1}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{\left\{ f ( x ) - f ( 1 ) \right\} - \left\{ g ( x ) - g ( 1 ) \right\}}{x - 1}}$$= 5$ 즉, $f' ( 1 ) - g' ( 1 )$$= 5$ $\cdots \cdots$ ㉡ 조건 (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{f ( x ) + g ( x ) - 2 f ( 1 )}{x - 1}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{\left\{ f ( x ) - f ( 1 ) \right\} + \left\{ g ( x ) - g ( 1 ) \right\}}{x - 1}$$= 7$ 즉, $f' ( 1 ) + g' ( 1 )$$= 7$ $\cdots \cdots$ ㉢ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{f ( x ) - a}{x - 1}$$= b \times g ( 1 )$에서 $x \rightarrow 1$일 때, (분모)$\rightarrow 0$이므로 (분자)$\rightarrow 0$이다. 즉, $a$$= f ( 1 )$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}}$$= f' ( 1 )$ ㉠에서 $f ( 1 )$$= g ( 1 )$이므로 $f' ( 1 )$$= b \times f ( 1 )$$= ab$ ㉡, ㉢을 연립해서 풀면 $f' ( 1 )$$= 6$ 따라서 $ab$$= 6$