극한 조건으로 삼차함수 결정하기

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{f ( x ) - x ^{3}}{x ^{2} + 1}$의 극한값이 존재하므로 다항함수 $f ( x )$는 $x ^{3}$항과 $x ^{2}$항의 계수가 모두 $1$인 삼차식이다. 함수 $f ( x )$를 $f ( x ) = x ^{3} + x ^{2} + ax + b \cdots$(1) 라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{f ( x ) - 1}{x - 1}$이 수렴하기 위해서 $f ( 1 ) = 1 \cdots$(2) 또한, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{f ( x ) - 1}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = f' ( 1 ) = 1 \cdots$(3) 식 (1)로부터 $f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 x + a \cdots$(4) 식 (1)$\sim$(4)로부터 $a + b + 2 = 1$, $a + b = - 1$ $5 + a = 1$, $\therefore a = - 4 , b = 3$ 따라서, $f ( 2 ) = 8 + 4 + ( - 8 ) + 3 = 7$