미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극한 조건으로 구하는 a+b

문제

두 상수 aa, bb에 대하여 함수 f(x)=ax2+bxf \left( x \right) = ax ^{2} + bx가 다음 조건을 만족시킬 때, a+ba + b의 값은? [3점]

(가) lim⁡x→∞f(x)x2−x+1=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{f \left( x \right)}{x ^{2} - x + 1} = 1 (나) lim⁡h→0f(5+h)−f(5−3h)2h=22\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{f \left( 5 + h \right) - f \left( 5 - 3 h \right)}{2 h} = 22

①11②22③33④44⑤55

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②

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해설

조건 (가)에서 lim⁡x→∞ax2+bxx2−x+1=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{ax ^{2} + bx}{x ^{2} - x + 1} = 1이므로 a=1a = 1 조건 (나)에서 lim⁡h→0f(5+h)−f(5−3h)2h\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f \left( 5 + h \right) - f \left( 5 - 3 h \right)}{2 h} =lim⁡h→0f(5+h)−f(5)+f(5)−f(5−3h)2h\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f \left( 5 + h \right) - f \left( 5 \right) + f \left( 5 \right) - f \left( 5 - 3 h \right)}{2 h} =lim⁡h→0f(5+h)−f(5)−{f(5−3h)−f(5)}2h\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f \left( 5 + h \right) - f \left( 5 \right) - \left\{ f \left( 5 - 3 h \right) - f \left( 5 \right) \right\}}{2 h} =12×lim⁡h→0f(5+h)−f(5)h+32×lim⁡h→0f(5−3h)−f(5)−3h\displaystyle = \frac{1}{2} \times \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f \left( 5 + h \right) - f \left( 5 \right)}{h} + \frac{3}{2} \times \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f \left( 5 - 3 h \right) - f \left( 5 \right)}{- 3 h} =12×f′(5)+32×f′(5)=2f′(5)\displaystyle = \frac{1}{2} \times f' \left( 5 \right) + \frac{3}{2} \times f' \left( 5 \right) = 2 f' \left( 5 \right) 2f′(5)=222 f' \left( 5 \right) = 22이므로 f′(5)=11f' \left( 5 \right) = 11 f(x)=x2+bxf \left( x \right) = x ^{2} + bx에서 f′(x)=2x+bf' \left( x \right) = 2 x + b이므로 f′(5)=10+b=11f' \left( 5 \right) = 10 + b = 11, b=1b = 1 ∴\therefore a+b=1+1=2a + b = 1 + 1 = 2

태그

#미분계수의 정의#함수의 극한

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