극한 조건으로 다항함수 결정

[출제의도] 함수의 극한 이해하기 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{f \left( x \right)}{x ^{2}}} = 2$이므로 $f \left( x \right) = 2 x ^{2} + ax + b$ ($a$, $b$는 상수)라 하자. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\frac{f \left( x \right)}{x - 2}} = 7$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\left( x - 2 \right)} = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {f \left( x \right)} = f \left( 2 \right) = 0$ $8 + 2 a + b = 0$, $b = \mathit{-} 2 \left( a + 4 \right)$ $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) \left( 2 x + a + 4 \right)$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\frac{f \left( x \right)}{x - 2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\frac{\left( x - 2 \right) \left( 2 x + a + 4 \right)}{x - 2}}$ $= a + 8$$= 7$ 에서 $a = \mathit{-} 1$, $b = \mathit{-} 6$ 따라서 $f \left( x \right) = 2 x ^{2} - x - 6$이므로 $f \left( 4 \right) = 32 - 4 - 6 = 22$