미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극한 조건으로 다항함수 결정

문제

다항함수 f(x)f ( x )가 lim⁡x→∞f(x)x2+1=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{f ( x )}{x ^{2} + 1} = 1, lim⁡x→1x−1f(x)=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{x - 1}{f ( x )} = 1 을 만족시킬 때, f(5)f ( 5 )의 값을 구하시오. [3점]

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20

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해설

[출제의도] 이해능력-함수의 극한과 연속 lim⁡x→∞f(x)x2+1=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{f ( x )}{x ^{2} + 1} = 1이므로 f(x)f ( x )는 최고차항의 계수가 1인 이차함수이다. lim⁡x→1x−1f(x)=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{x - 1}{f ( x )} = 1에서 (분자)→\rightarrow0 이고 극한값이 0이 아니므로 (분모)→\rightarrow0 이어야 한다. 따라서 f(x)=(x−1)(x−k)f ( x ) = ( x - 1 ) ( x - k )(단, k≠1k \ne 1)로 놓을 수 있다. lim⁡x→1x−1f(x)=lim⁡x→1x−1(x−1)(x−k)=lim⁡x→11x−k=11−k=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{x - 1}{f ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{x - 1}{( x - 1 ) ( x - k )} = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{1}{x - k} = \frac{1}{1 - k} = 1 이어야 하므로 1−k=01 - k = 0에서 k=0k = 0 따라서 f(x)=x(x−1)f ( x ) = x ( x - 1 )이므로 f(5)=5×4=20f ( 5 ) = 5 \times 4 = 20

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#극한#다항함수 결정

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