극한 조건을 만족하는 삼차함수와 k

$\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}} = 5$이므로 삼차함수 $f ( x )$는 $( x - 1 ) ^{2}$을 인수로 갖는다. $f ( x ) = ( ax + b ) ( x - 1 ) ^{2}$이라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}} = \lim\limits _{x\rightarrow 1} ( ax + b ) = a + b$이므로 $a + b = 5$ ⋯⋯ ㉠ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 2} \frac{f ( x ) - k}{x - 2} = 13$이므로 $f ( 2 ) = k$이고 $f' ( 2 ) = 13$이다. $f' ( x ) = a ( x - 1 ) ^{2} + 2 ( ax + b ) ( x - 1 )$에서 $f' ( 2 ) = a + 2 ( 2 a + b ) = 5 a + 2 b$이므로 $5 a + 2 b = 13$ ⋯⋯ ㉡ ㉠, ㉡에서 $a = 1$, $b = 4$ ∴ $f ( x ) = ( x + 4 ) ( x - 1 ) ^{2}$ ∴ $k = f ( 2 )$$= 6$