극한 조건 삼차함수

$f ( x ) = ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d$ 라 놓자. (가)에서 $f ( - 2 ) = 12$, $- 8 a + 4 b - 2 c + d = 12$ (나)를 계산하면 $\displaystyle \frac{1}{x} = t$라 하면 $x \rightarrow \infty$일 때 $t \rightarrow 0 +$ 이고 $\displaystyle x f \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{t} f ( t )$ 이다. $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow \infty} x f \left( \frac{1}{x} \right) + \lim\limits _{x\rightarrow 0} \frac{f ( x + 1 )}{x}$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 0} \frac{f ( x ) + f ( x + 1 )}{x}$$= 1$ 이므로 $f ( 0 ) = 0$, $f ( 1 ) = 0$, $f' ( 0 ) + f' ( 1 ) = 1$ 이다. $f' ( x ) = 3 ax ^{2} + 2 bx + c$ 이므로 $f ( 0 ) = d = 0$, $f ( 1 ) = a + b + c + d = 0$ $f' ( 0 ) + f' ( 1 ) = c + ( 3 a + 2 b + c ) = 1$ 이상을 연립하여 풀면 $a = 1$, $b = 3$, $c = - 4$, $d = 0$ $\therefore$ $f ( x ) = x ^{3} + 3 x ^{2} - 4 x$, $\therefore$ $f ( 3 ) = 27 + 27 - 12 = 42$