극한 조건 이차함수

[출제의도] 이차함수와 함수의 극한의 성질을 이용하여 함숫값을 구하는 문제를 해결한다. $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수이므로 $f \left( x \right) = x ^{2} + cx + d$(단, $c$와 $d$는 상수이다.) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\left| x \right| \left\{ f \left( \frac{1}{x} \right) - f \left( - \frac{1}{x} \right) \right\}} = a$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {x \left\{ f \left( \frac{1}{x} \right) - f \left( - \frac{1}{x} \right) \right\}} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {( - x ) \left\{ f \left( \frac{1}{x} \right) - f \left( - \frac{1}{x} \right) \right\}}$ $\displaystyle \frac{1}{x} = t$로 치환하면 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{f \left( t \right) - f \left( - t \right)}{t}} = 2 c$, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - \infty} {\frac{f \left( t \right) - f \left( - t \right)}{- t}} = \mathit{-} 2 c$ 이므로 $c = 0$, $a = 0$이고 $f ( x ) = x ^{2} + d$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {f \left( \frac{1}{x} \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left. \left( \frac{1}{x ^{2}} \right. + d \right) = d = 3}$이므로 $f ( x ) = x ^{2} + 3$ 따라서 $f ( 2 ) = 2 ^{2} + 3 = 7$