극한 조건 다항함수

다항함수 $f ( x ) = a x ^{n} + b x ^{n - 1} + \cdots + c$라 하면 ㈎ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{\left\{ f ( x ) \right\} ^{2} - f ( x ^{2} )}{x ^{3} f ( x )} = 4}$이므로 분자와 분모의 차수가 같아야 극한값이 존재하므로 (분모) : $a x ^{n + 3} + b x ^{n + 2} + \cdots$ (분자) : $( a ^{2} x ^{2 n} + \cdots ) - ( a x ^{2 n} + \cdots )$이다. 따라서, 분모의 최고차수와 분자의 최고차수가 같아야 하므로 $2 n = n + 3$이므로 $n = 3$ 그리고 최고차수의 계수를 비교하면 $\displaystyle \frac{a ^{2} - a}{a} = 4$이므로 $\therefore a = 5$ 그러므로 $f ( x ) = 5 x ^{3} + b x ^{2} + c x + d$라고 할 수 있고, $f' ( x ) = 15 x ^{2} + 2 b x + c$ ㈏ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{f' ( x )}{x} = 4}$에 $f' ( x )$를 대입하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{15 x ^{2} + 2 bx + c}{x} = 4}$이고 분자의 $x \rightarrow 0$이므로 $x \rightarrow 0$일 때 분모의 $15 x ^{2} + 2 b x + c = 0$이여야 하므로 $c = 0$이다. 그러므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{15 x ^{2} + 2 bx}{x} = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{x ( 15 x + 2 b )}{x} = 2 b =} 4}$ $\therefore b = 2$ $f' ( x ) = 15 x ^{2} + 4 x$이므로 $f' ( 1 ) = 15 + 4 = 19$