극한 조건 다항함수

[출제의도] 함수의 극한 이해하기 (가)에서 모든 실수 $a$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {\frac{f \left( x \right) - 5 x}{x ^{2} - 4}}$의 값이 존재하므로 (분모)$\rightarrow 0$이면 (분자)$\rightarrow 0$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {\frac{f \left( x \right) - 5 x}{x ^{2} - 4}}$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\left( x ^{2} - 4 \right) = 0}$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 2} {\left( x ^{2} - 4 \right) = 0}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\left( f \left( x \right) - 5 x \right)} = 0$이고$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 2} {\left( f \left( x \right) - 5 x \right)} = 0$이다. 즉, $f \left( 2 \right) - 10 = 0$, $f \left( - 2 \right) + 10 = 0$이다. $f \left( x \right)$가 다항함수이므로 $f \left( x \right) - 5 x = \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) g \left( x \right)$라 하자. (단, $g \left( x \right)$는 다항식) (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{f \left( x \right)} - 3 x + 1 \right) = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{f \left( x \right)} - \left( 3 x - 1 \right) \right)}}$ $\displaystyle {= \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{f \left( x \right) - \left( 3 x - 1 \right) ^{2}}{\sqrt{f \left( x \right)} + 3 x - 1}}}$ 의 값이 존재하기 위해서는 분모의 차수가 분자의 차수보다 크거나 같아야 하므로 $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $9$인 이차함수가 되어야 한다. 따라서 $f \left( x \right) - 5 x = 9 \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right)$이므로 $f \left( 3 \right) = 60$이다.