극한 조건 다항함수

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{f ( x )}{x ^{3} - 2 x ^{2} + 3 x - 4} = 1 \cdots \cdots \cdots \text{①}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = 4$(수렴) $\cdots \cdots \cdots \text{ ②}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} \frac{13 f ( x )}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \alpha$(수렴) $\cdots \cdots \cdots \text{ ③}$ ①에서 $f ( x )$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차식이고 ②에서 $f ( 1 ) = 0$이고, ③에서 $f ( 2 ) = 0$이므로 $f ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x + a )$라 두면 ②에 대입하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x + a )}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = 4$에서 $1 + a = 4$ $\therefore a = 3$ $\therefore f ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x + 3 )$을 ③에 대입하면 $\displaystyle \therefore \alpha = \lim\limits _{x \rightarrow 2} \frac{13 ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x + 3 )}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = 13 \cdot 5 = 65$