극한 정의 함수 연속

[출제의도] 함수의 연속의 뜻 이해하기 ⅰ) $\left| x \right| < 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{2 n}} = 0$이므로 $f \left( x \right) = ax ^{2} + bx - 2$ ⅱ) $\left| x \right| > 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{x ^{2 n}}} = 0$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{x ^{2 n + 1} + ax ^{2} + bx - 2}{x ^{2 n} + 1}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{x + \frac{ax ^{2}}{x ^{2 n}} + \frac{bx}{x ^{2 n}} - \frac{2}{x ^{2 n}}}{1 + \frac{1}{x ^{2 n}}}} = x$ ⅲ) $x = 1$일 때, $\displaystyle f \left( 1 \right) = \frac{a + b - 1}{2}$ ⅳ) $x = - 1$일 때, $\displaystyle f ( - 1 ) = \frac{a - b - 3}{2}$ 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x = - 1$, $x = 1$에서 연속이다. ① $x = - 1$에서 연속이므로 $\displaystyle a - b - 2 = - 1 = \frac{a - b - 3}{2}$ $\therefore$ $a - b = 1$ $\cdots \cdots$㉠ ② $x = 1$에서 연속이므로 $\displaystyle a + b - 2 = 1 = \frac{a + b - 1}{2}$ $\therefore$ $a + b = 3$ $\cdots \cdots$㉡ ㉠, ㉡에서 $a = 2$, $b = 1$ 따라서 $ab = 2$