극한 함수와 사인 실근

$| x | > 1$일 때, $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{2 x ^{2} + \frac{1}{x ^{2n}}}{1 + \frac{2}{x ^{2n}}} = 2 x ^{2}$ $x = 1$일 때, $\displaystyle f ( 1 ) = \frac{2 + 1}{1 + 2} = 1$ $x = - 1$일 때, $\displaystyle f ( - 1 ) = \frac{2 + 1}{1 + 2} = 1$ $| x | < 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} x ^{2n} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} x ^{2n+2} = 0$이므로 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2}$ 따라서, $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다. $\displaystyle \frac{1}{2}$ $y = f ( x )$ $y = g ( x )$

방정식$f ( x ) = g ( x )$가 실근을 갖지 않으려면 두 함수$y = f ( x ) , y = g ( x )$의 그래프가 만나지 않아야 한다. $y = f ( x )$의 그래프가 $y$축에 대하여 대칭이므로 $g ( x ) = \sin ( k \pi x )$에서 $k > 0$으로 가정하여도 일반성을 잃지 않는다. 따라서, $\displaystyle g ( 1 ) \leq \frac{1}{2}$이고, $g ( x )$의 주기는 4보다 커야 한다. $g ( x )$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{k \pi} = \frac{2}{k}$이므로 $\displaystyle \frac{2}{k} > 4$에서 $\displaystyle 0 < k < \frac{1}{2}$ $\cdots \text{㉠}$ $\displaystyle g ( 1 ) = \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle \sin k \pi = \frac{1}{2}$ ∴ $\displaystyle k = \frac{1}{6} , \frac{5}{6} , \cdots$ ㉠에 의해 $\displaystyle k = \frac{1}{6}$ 따라서, $k$의 최대값이 $\displaystyle \frac{1}{6}$이므로 $60 k$의 최대값은 $10$이다.