극한 부호 함수

[출제의도] 함수의 극한의 성질을 이용하여 함수 추론하기 $f _{1} \left( x \right) = ax ^{2} + \left( 2 b - 3 \right) x + a ^{2} - 3$, $\displaystyle f _{2} \left( x \right) = - \frac{1}{3} ax ^{2} + \left( b + 5 \right) x + a ^{2} - 1$이라 하면 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} f _{1} \left( x \right) & \left( x < k \right) \\ f _{2} \left( x \right) & \left( x \geq k \right) \end{cases}}$ $f \left( x \right) > 0$이면 $\displaystyle \frac{\left| f \left( x \right) \right|}{f \left( x \right)} = 1$, $f \left( x \right) < 0$이면 $\displaystyle \frac{\left| f \left( x \right) \right|}{f \left( x \right)} = - 1$ 임의의 실수 $\alpha$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha} {f \left( x \right)}$가 존재하므로 (ⅰ) $x _{1} < x < x _{2}$인 모든 $x$에 대하여 $f \left( x \right) \geq 0$일 때 $x _{1} < \alpha < x _{2}$인 임의의 $\alpha$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \alpha +} {\frac{\left| f \left( t \right) \right|}{f \left( t \right)}} = \lim\limits _{t \rightarrow \alpha -} {\frac{\left| f \left( t \right) \right|}{f \left( t \right)}} = 1$, $g \left( \alpha \right) = 0$ (ⅱ) $x _{3} < x < x _{4}$인 모든 $x$에 대하여 $f \left( x \right) \leq 0$일 때 $x _{3} < \alpha < x _{4}$인 임의의 $\alpha$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \alpha +} {\frac{\left| f \left( t \right) \right|}{f \left( t \right)}} = \lim\limits _{t \rightarrow \alpha -} {\frac{\left| f \left( t \right) \right|}{f \left( t \right)}} = - 1$, $g \left( \alpha \right) = 0$ (ⅲ) $f \left( \alpha \right) = 0$이고 $x = \alpha$의 좌우에서 $f \left( x \right)$의 함숫값의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 변하는 경우

$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \alpha +} {\frac{\left| f \left( t \right) \right|}{f \left( t \right)}} = 1$, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \alpha -} {\frac{\left| f \left( t \right) \right|}{f \left( t \right)}} = - 1$이므로 $g \left( \alpha \right) = 2$ (ⅳ) $f \left( \alpha \right) = 0$이고 $x = \alpha$의 좌우에서 $f \left( x \right)$의 함숫값의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 변하는 경우

$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \alpha +} {\frac{\left| f \left( t \right) \right|}{f \left( t \right)}} = - 1$, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \alpha -} {\frac{\left| f \left( t \right) \right|}{f \left( t \right)}} = 1$이므로 $g \left( \alpha \right) = - 2$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 함수 $g \left( x \right)$의 함숫값이 될 수 있는 것은 $- 2 , 0 , 2$ 함수 $\displaystyle y = - 4 \left| \log _{2} \frac{x}{2} \right| + 2$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 $y = g ( x )$의 그래프와 함수 $\displaystyle y = - 4 \left| \log _{2} \frac{x}{2} \right| + 2$의 그래프의 교점의 $y$좌표는 $- 2 , 0 , 2$만 가능하다. 방정식 $\displaystyle - 4 \left| \log _{2} \frac{x}{2} \right| + 2 = - 2$의 해는 $x = 1$ 또는 $x = 4$ 방정식 $\displaystyle - 4 \left| \log _{2} \frac{x}{2} \right| + 2 = 0$의 해는 $\displaystyle x = \sqrt{2}$ 또는 $\displaystyle x = 2 \sqrt{2}$ 방정식 $\displaystyle - 4 \left| \log _{2} \frac{x}{2} \right| + 2 = 2$의 해는 $x = 2$ 함수 $g \left( x \right)$의 그래프와 함수 $\displaystyle y = - 4 \left| \log _{2} \frac{x}{2} \right| + 2$의 그래프의 교점의 개수가 $5$이므로 교점은 $\left( 1 , - 2 \right)$, $\displaystyle \left( \sqrt{2} , 0 \right)$, $\left( 2 , 2 \right)$, $\displaystyle \left( 2 \sqrt{2} , 0 \right)$, $\left( 4 , - 2 \right)$이고 $g \left( 1 \right) = g \left( 4 \right) = - 2$, $g \left( 2 \right) = 2$ $f \left( 1 \right) = f \left( 2 \right) = f \left( 4 \right) = 0$ $k \leq 1$이면 $x \geq k$에서 $\displaystyle f \left( x \right) = f _{2} \left( x \right) = - \frac{1}{3} ax ^{2} + \left( b + 5 \right) x + a ^{2} - 1$이므로 $f \left( 1 \right) = f \left( 2 \right) = f \left( 4 \right) = 0$이 성립하지 않는다. $k > 4$이면 $x < k$에서 $f \left( x \right) = f _{1} \left( x \right) = ax ^{2} + \left( 2 b - 3 \right) x + a ^{2} - 3$이므로 $f \left( 1 \right) = f \left( 2 \right) = f \left( 4 \right) = 0$이 성립하지 않는다. 그러므로 $1 < k \leq 4$이고 $f \left( 1 \right) = f _{1} \left( 1 \right)$, $f \left( 4 \right) = f _{2} \left( 4 \right)$ $\cdots \text{㉠}$ $a < 0$이면 함수 $f _{1} \left( x \right)$의 그래프는 위로 볼록, 함수 $f _{2} \left( x \right)$의 그래프는 아래로 볼록이고 $g \left( 1 \right) = g \left( 4 \right) = - 2$, $f _{1} \left( 1 \right) = f _{2} \left( 4 \right) = 0$을 만족시키는 두 곡선 $y = f _{1} \left( x \right)$, $y = f _{2} \left( x \right)$의 개형은 다음과 같다.

이때, $f _{1} \left( 2 \right) \ne 0$이고 $f _{2} \left( 2 \right) \ne 0$이므로 $f \left( 2 \right) = 0$이 성립하지 않는다. 그러므로 $a > 0$ ㉠에 의하여 $f \left( 1 \right) = f _{1} \left( 1 \right) = a + \left( 2 b - 3 \right) + a ^{2} - 3 = 0$ $\displaystyle f \left( 4 \right) = f _{2} \left( 4 \right) = - \frac{16}{3} a + \left( 4 b + 20 \right) + a ^{2} - 1 = 0$에서 $\displaystyle a = - \frac{31}{3}$ 또는 $a = 3$ $a > 0$이므로 $a = 3$, $b = - 3$ $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 3 x ^{2} - 9 x + 6 & \left( x < k \right) \\ - x ^{2} + 2 x + 8 & \left( x \geq k \right) \end{cases}}$ 조건 (가)에 의하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k -} {f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow k +} {f \left( x \right)}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k -} {\left( 3 x ^{2} - 9 x + 6 \right) = \lim\limits _{x \rightarrow k +} {\left( - x ^{2} + 2 x + 8 \right)}}$ $4 k ^{2} - 11 k - 2 = 0$, $\displaystyle k = \frac{11 \pm 3 \sqrt{17}}{8}$ $1 < k \leq 4$이므로 $\displaystyle k = \frac{11 + 3 \sqrt{17}}{8}$ 따라서 $\displaystyle p = \frac{11}{8}$, $\displaystyle q = \frac{3}{8}$ $\displaystyle 16 \left( p + q \right) = 16 \times \frac{14}{8} = 28$ [참고] 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.