미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극값의 곱

문제

열린 구간 $\left( 0 , 2 \pi \right)$ 에서 정의된 함수 $f \left( x \right) = e ^{x} \left( \sin x + \cos x \right)$ 의 극댓값을 $M$ , 극솟값을 $m$ 이라 할 때, $M m$ 의 값은? [3점] ① $- e ^{2 \pi}$ ② $- e ^{\pi}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{e ^{3 \pi}}$ ④ $\displaystyle \frac{1}{e ^{2 \pi}}$ ⑤ $\displaystyle \frac{1}{e ^{\pi}}$

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①

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[출제의도] 함수의 극댓값, 극솟값 이해하기 $f' ( x ) = 2 e ^{x} \cos x = 0$ ( $0 < x < 2 \pi$ )에서 $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{3}{2} \pi$ 이다. 함수 $f ( x )$ 의 증감표는 다음과 같다.

$x$	$\left( 0 \right)$	$\cdots$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$\cdots$	$\displaystyle \frac{3}{2} \pi$	$\cdots$	$\left( 2 \pi \right)$
$f' ( x )$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f ( x )$		↗	$\displaystyle e ^{\frac{\pi}{2}}$	↘	$\displaystyle - e ^{\frac{3}{2} \pi}$	↗

함수 $f ( x )$ 는 $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ 에서 극댓값 $\displaystyle M = e ^{\frac{\pi}{2}}$ , $\displaystyle x = \frac{3}{2} \pi$ 에서 극솟값 $\displaystyle m = - e ^{\frac{3}{2} \pi}$ 을 갖는다. 따라서 $M m = - e ^{2 \pi}$

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