공통수학2평면좌표AI기본 문제 (3점 중반)

거리의 차가 최대가 되는 점

문제

좌표평면 위의 두 점 A(2,3)\mathrm{A} ( 2 , 3 ), B(6,5)\mathrm{B} ( 6 , 5 ) 와 yy축 위를 움직이는 점 P\mathrm{P} 에 대하여 ∣PA‾−PB‾∣\displaystyle \left| \overline{\mathrm{PA}} - \overline{\mathrm{PB}} \right| 가 최대가 되도록 하는 점 P\mathrm{P} 의 yy좌표를 구하시오. [3점]

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해설

삼각부등식에 의하여 ∣PA‾−PB‾∣≤AB‾\displaystyle \left| \overline{\mathrm{PA}} - \overline{\mathrm{PB}} \right| \leq \overline{\mathrm{AB}} 이고 등호는 점 P\mathrm{P} 가 직선 AB\mathrm{AB} 위에 있으면서 선분 AB\mathrm{AB} 위에는 있지 않을 때 성립한다. 직선 AB\mathrm{AB} 의 기울기는 5−36−2=12\displaystyle \frac{5 - 3}{6 - 2} = \frac{1}{2} 이므로 직선 AB\mathrm{AB} 의 방정식은 y−3=12(x−2)\displaystyle y - 3 = \frac{1}{2} ( x - 2 ) x=0x = 0 을 대입하면 y=2y = 2 이므로 직선 AB\mathrm{AB} 는 yy축과 점 (0,2)( 0 , 2 ) 에서 만난다. 이 점은 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B} 보다 왼쪽에 있으므로 선분 AB\mathrm{AB} 위의 점이 아니다. 따라서 P(0,2)\mathrm{P} ( 0 , 2 ) 일 때 최대이고, 구하는 yy좌표는 22이다.

태그

#거리의 차의 최대#y축 위의 점#삼각부등식

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