거리가 자연수인 직선의 개수

원점 $\mathrm{O}$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하면 $\displaystyle d = \overline{\mathrm{OH}}$ 이다. 직각삼각형 $\mathrm{OHA}$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} \leq \overline{\mathrm{OA}}$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \sqrt{4 ^{2} + 3 ^{2}} = 5$ 이므로 $0 < d \leq 5$ 등호는 직선 $l$ 이 직선 $\mathrm{OA}$ 와 수직일 때 성립하므로 $d = 5$ 인 직선 $l$ 은 $1$ 개이다. $0 < d < 5$ 인 각각의 $d$ 에 대하여 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $d$ 인 원을 그리면 점 $\mathrm{A}$ 는 이 원의 밖에 있으므로, 점 $\mathrm{A}$ 에서 이 원에 그은 접선, 즉 조건을 만족시키는 직선 $l$ 은 $2$ 개씩 있다. $d$ 가 자연수이므로 $d = 1 , 2 , 3 , 4$ 일 때 각각 $2$ 개, $d = 5$ 일 때 $1$ 개이다. 따라서 직선 $l$ 의 개수는 $4 \times 2 + 1 = 9$ 이다. ($d = 4$ 인 두 직선 중 하나는 기울기가 없는 직선 $x = 4$ 이다.) ③